Nos exercícios 1 a 23, calcular a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Passo 2
Vamos observar a estrutura do integrando para escolher um método. A expressão tem uma potência de uma função quadrática no denominador,
, e o numerador é
. Note que a derivada de
é
, que aparece (parcialmente) no numerador. Isso sugere tentar a substituição que transforma
numa nova variável, porque assim o
se tornará
e o restante do numerador pode ser reescrito em termos da nova variável.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos
:
Também precisamos expressar
em termos de
:
Reescrevemos o numerador
como
e substituímos:
O denominador
vira
. Portanto a integral transforma-se em
Passo 4
Simplificamos a expressão obtida:
Agora dividimos a fração:
Então a integral fica
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembrete das regras que usamos:
-
. -
para .
Aplicando:
Somando e multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Voltamos à variável original usando
. Observação:
para todo
, então
e podemos escrever sem barras de valor absoluto:
Passo 7
Verificação (para você se sentir seguro): derivamos a primitiva encontrada e confirmamos que volta ao integrando. Seja
Calculamos
:
Simplificando:
que é exatamente o integrando. Verificação feita!