Nos exercícios 1 a 23, calcular a integral indefinida.
\int \frac{x^{3} d x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}\,dx}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
\text{Dado: } \frac{x^{3}}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}.
\text{Pedido: encontrar uma primitiva (ou seja, a integral indefinida)}.

Passo 2

Vamos observar a estrutura do integrando para escolher um método. A expressão tem uma potência de uma função quadrática no denominador, \left(x^{2}+2\right)^{2}, e o numerador é x^{3}. Note que a derivada de x^{2}+2 é 2x, que aparece (parcialmente) no numerador. Isso sugere tentar a substituição que transforma x^{2}+2 numa nova variável, porque assim o x\,dx se tornará du e o restante do numerador pode ser reescrito em termos da nova variável.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x^{2}+2.
Agora calculamos du:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também precisamos expressar x^{2} em termos de u:
x^{2} = u - 2.
Reescrevemos o numerador x^{3}\,dx como x^{2}\cdot x\,dx e substituímos:
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (u-2)\cdot\frac{du}{2}.
O denominador \left(x^{2}+2\right)^{2} vira u^{2}. Portanto a integral transforma-se em
\int \frac{x^{3}\,dx}{\left(x^{2}+2\right)^{2}} = \int \frac{(u-2)\,\frac{du}{2}}{u^{2}}.

Passo 4

Simplificamos a expressão obtida:
\int \frac{(u-2)\,\frac{du}{2}}{u^{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{u-2}{u^{2}}\,du.
Agora dividimos a fração:
\frac{u-2}{u^{2}} = \frac{u}{u^{2}} - \frac{2}{u^{2}} = u^{-1} - 2u^{-2}.
Então a integral fica
\frac{1}{2}\int \left(u^{-1} - 2u^{-2}\right)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembrete das regras que usamos:
  • \displaystyle \int u^{-1}\,du = \ln|u| + C.
  • \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C para n\neq -1.
Aplicando:
\int u^{-1}\,du = \ln|u|,
\int (-2u^{-2})\,du = -2\int u^{-2}\,du = -2\left(-u^{-1}\right) = 2u^{-1}.
Somando e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\left(\ln|u| + 2u^{-1}\right) = \frac{1}{2}\ln|u| + u^{-1}.

Passo 6

Voltamos à variável original usando u = x^{2}+2. Observação: \,x^{2}+2>0 para todo x, então |u|=u e podemos escrever sem barras de valor absoluto:
\frac{1}{2}\ln|u| + u^{-1} + C = \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+2\right) + \frac{1}{x^{2}+2} + C.

Passo 7

Verificação (para você se sentir seguro): derivamos a primitiva encontrada e confirmamos que volta ao integrando. Seja
F(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+2\right)+\frac{1}{x^{2}+2}.
Calculamos F'(x):
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+2} + \left(-1\right)\cdot\frac{2x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}.
Simplificando:
F'(x)=\frac{x}{x^{2}+2}-\frac{2x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}=\frac{x\big(x^{2}+2\big)-2x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}=\frac{x^{3}}{\left(x^{2}+2\right)^{2}},
que é exatamente o integrando. Verificação feita!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+2\right)+\frac{1}{x^{2}+2}+C

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