“O nióbio (Nb) possui massa específica 8570 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, massa molar 92,91 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e parâmetro de rede a = 0,33 nm. A partir destes dados:
(a) Determine a estrutura cristalina neste elemento entre: CCC, CFC ou CS.
(b) Determine o raio atômico (em nm ou Å) deste elemento.”

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar qual é a estrutura cristalina do nióbio entre as opções: CCC, CFC ou CS.
  • (b) Determinar o raio atômico do nióbio (em nm ou Å).
As informações fornecidas são:
  • massa específica: \rho = 8570\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • massa molar: M = 92{,}91\\ \mathrm{g/mol},
  • parâmetro de rede: a = 0{,}33\\ \mathrm{nm}.
Observação sobre unidades (vou usar isso depois): converterei a massa molar para \mathrm{kg/mol} e o parâmetro de rede para metros ao usar fórmulas de densidade.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): numa rede cristalina cúbica, a densidade macroscópica \rho relaciona-se com o número de átomos por célula unitária Z, a massa molar M, a constante de Avogadro N_A e o volume da célula a^{3} pela fórmula
\rho = \frac{Z\,M}{N_A\,a^{3}}.
Explicação das letras:
  • \rho é a massa por unidade de volume ( \mathrm{kg/m^{3}}).
  • Z é o número de átomos por célula unitária (depende da estrutura: para CS Z=1, para CCC Z=2, para CFC Z=4).
  • M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
  • N_A é a constante de Avogadro ( N_A \approx 6{,}02214076\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).
  • a é o parâmetro de rede (lado da célula cúbica) em metros, e a^{3} é o volume da célula.
Para saber a estrutura, vamos calcular Z a partir dos dados reordenando a fórmula:
Z = \frac{\rho\,N_A\,a^{3}}{M}.

Passo 3

Conversões e substituição dos valores (com cuidado de unidades):
  • Converter M de \mathrm{g/mol} para \mathrm{kg/mol}:
M = 92{,}91\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}09291\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Converter a de \mathrm{nm} para \mathrm{m}:
a = 0{,}33\\ \mathrm{nm} = 0{,}33\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 3{,}3\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a^{3}:
a^{3} = (3{,}3\times 10^{-10})^{3}\\ \mathrm{m^{3}} = 3{,}5937\times 10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Usar N_A = 6{,}02214076\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} e \rho = 8570\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora substituir na expressão de Z:
Z = \frac{8570 \times 6{,}02214076\times 10^{23} \times 3{,}5937\times 10^{-29}}{0{,}09291}.

Passo 4

Fazer as contas com atenção (mostrando ordem de grandeza):
  • Primeiro produto intermédio: 6{,}02214076\times 10^{23}\times 3{,}5937\times 10^{-29} \approx 2{,}1642\times 10^{-5}.
  • Multiplicando por \rho = 8570 \approx 0{,}18547.
  • Dividindo por M = 0{,}09291
Z \approx 1{,}996 \approx 2.
Interpretação: o valor calculado para Z é muito próximo de 2. Como as opções possíveis têm Z inteiros conhecidos:
  • CS (cúbica simples): Z=1,
  • CCC (cúbica de corpo centrado): Z=2,
  • CFC (cúbica de faces centradas): Z=4,
o resultado indica que a estrutura é a CCC (cúbica de corpo centrado).

Passo 5

Agora vamos calcular o raio atômico. Explicação geométrica (BBB, sem pressa):
  • Na estrutura CCC (BCC em inglês), os átomos dos cantos e o átomo do corpo tocam-se ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial ou diagonal do corpo).
  • O comprimento da diagonal do corpo de um cubo de aresta a é \sqrt{3}\,a.
  • Ao longo dessa diagonal tocam-se 2 raios do átomo do canto + 2 raios do átomo do canto oposto (na prática a diagonal passa por 2 raios do átomo central e 1 raio de cada canto), o que resulta em 4r ocupando a diagonal. Portanto a relação geométrica é
\sqrt{3}\,a = 4r.
Isolando r:
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.

Passo 6

Substituir a e calcular r:
  • Usando a = 0{,}33\\ \mathrm{nm},
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\times 0{,}33\\ \mathrm{nm}.
  • Numérico: \dfrac{\sqrt{3}}{4}\approx 0{,}4330127, então
r \approx 0{,}4330127\times 0{,}33\\ \mathrm{nm} \approx 0{,}1429\\ \mathrm{nm}.
Converter para angström ( 1\\ \mathrm{nm} = 10\\ \mathrm{\AA}):
r \approx 0{,}1429\\ \mathrm{nm} = 1{,}429\\ \mathrm{\AA}.
Pequeno comentário reconfortante: o valor do raio ficou num intervalo razoável para um metal de transição (≈1,4 Å), o que confirma coerência com a estrutura CCC encontrada.

Resposta

(a) CCC
(b) r \approx 0,1429\\ \mathrm{nm} = 1,429\\ \mathrm{\AA}

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