“O nióbio (Nb) possui massa específica
, massa molar
e parâmetro de rede a = 0,33 nm. A partir destes dados:
(a) Determine a estrutura cristalina neste elemento entre: CCC, CFC ou CS.
(b) Determine o raio atômico (em nm ou Å) deste elemento.”
(a) Determine a estrutura cristalina neste elemento entre: CCC, CFC ou CS.
(b) Determine o raio atômico (em nm ou Å) deste elemento.”
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar qual é a estrutura cristalina do nióbio entre as opções: CCC, CFC ou CS.
- (b) Determinar o raio atômico do nióbio (em nm ou Å).
As informações fornecidas são:
- massa específica:
, - massa molar:
, - parâmetro de rede:
.
Observação sobre unidades (vou usar isso depois): converterei a massa molar para
e o parâmetro de rede para metros ao usar fórmulas de densidade.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): numa rede cristalina cúbica, a densidade macroscópica
relaciona-se com o número de átomos por célula unitária
, a massa molar
, a constante de Avogadro
e o volume da célula
pela fórmula
Explicação das letras:
-
é a massa por unidade de volume ( ). -
é o número de átomos por célula unitária (depende da estrutura: para CS , para CCC , para CFC ). -
é a massa molar em . -
é a constante de Avogadro ( ). -
é o parâmetro de rede (lado da célula cúbica) em metros, e é o volume da célula.
Para saber a estrutura, vamos calcular
a partir dos dados reordenando a fórmula:
Passo 3
Conversões e substituição dos valores (com cuidado de unidades):
- Converter
de para :
- Converter
de para :
- Calcular
:
- Usar
e .
Agora substituir na expressão de
:
Passo 4
Fazer as contas com atenção (mostrando ordem de grandeza):
- Primeiro produto intermédio:
. - Multiplicando por
dá . - Dividindo por
dá
Interpretação: o valor calculado para
é muito próximo de
. Como as opções possíveis têm
inteiros conhecidos:
- CS (cúbica simples):
, - CCC (cúbica de corpo centrado):
, - CFC (cúbica de faces centradas):
,
o resultado indica que a estrutura é a CCC (cúbica de corpo centrado).
Passo 5
Agora vamos calcular o raio atômico. Explicação geométrica (BBB, sem pressa):
- Na estrutura CCC (BCC em inglês), os átomos dos cantos e o átomo do corpo tocam-se ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial ou diagonal do corpo).
- O comprimento da diagonal do corpo de um cubo de aresta
é . - Ao longo dessa diagonal tocam-se 2 raios do átomo do canto + 2 raios do átomo do canto oposto (na prática a diagonal passa por 2 raios do átomo central e 1 raio de cada canto), o que resulta em
ocupando a diagonal. Portanto a relação geométrica é
Isolando
:
Passo 6
Substituir
e calcular
:
- Usando
,
- Numérico:
, então
Converter para angström (
):
Pequeno comentário reconfortante: o valor do raio ficou num intervalo razoável para um metal de transição (≈1,4 Å), o que confirma coerência com a estrutura CCC encontrada.
Resposta
(a) CCC
(b)