Nos Exercícios de 24 a 28, ache um ponto na curva dada no qual a curvatura é um máximo absoluto.
y=x^{2}-2 x+3

Passo 1

O enunciado pede o ponto da curva y = x^{2} - 2x + 3 onde a curvatura atinge seu valor máximo absoluto. Estamos em cálculo diferencial de curvas planas e vamos usar a fórmula da curvatura para gráficas de funções do tipo y = f(x).

Passo 2

Para y = f(x), a curvatura \kappa(x) é dada por
\kappa(x) \;=\; \frac{\lvert f''(x)\rvert}{\bigl(1 + (f'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Logo, precisamos de f'(x) e f''(x).

Passo 3

Calculando as derivadas de f(x)=x^{2}-2x+3,
f'(x) = 2x - 2, \qquad f''(x) = 2.
Substituindo na fórmula da curvatura,
\kappa(x) = \frac{\lvert 2\rvert}{\bigl(1 + (2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{2}{\bigl(1 + (2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Para maximizar \kappa(x), minimizamos o denominador \bigl(1 + (2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}. Como (2x-2)^{2}\ge0, o menor valor ocorre quando
2x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 5

No ponto x=1, temos
y(1) = 1^{2} - 2\cdot1 + 3 = 2.
Portanto, o ponto de curvatura máxima é (1,2).

Resposta

O ponto em que a curvatura é máxima absoluta é (1,2).

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