Nos Exercícios de 24 a 28, ache um ponto na curva dada no qual a curvatura é um máximo absoluto.
\mathbf{R}(t)=(2 t-3) \mathbf{i}+\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede o ponto na curva paramétrica \mathbf{R}(t)=(2t-3)\,\mathbf{i}+\bigl(t^{2}-1\bigr)\,\mathbf{j}
onde a curvatura \kappa(t) atinge seu máximo absoluto.
Para isso vamos usar a fórmula da curvatura de uma curva no plano dada por
\kappa(t) =\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|} {\bigl[x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr]^{3/2}}
onde x(t) e y(t) são as componentes de \mathbf{R}(t).

Passo 2

Identificamos
x(t)=2t-3,\quad y(t)=t^{2}-1
e calculamos as derivadas:
x'(t)=2,\quad x''(t)=0, \quad y'(t)=2t,\quad y''(t)=2.

Passo 3

Substituindo na fórmula da curvatura obtemos
\kappa(t) =\frac{\bigl|2\cdot2 - (2t)\cdot0\bigr|} {\bigl[2^{2}+(2t)^{2}\bigr]^{3/2}} =\frac{4}{\bigl[4+4t^{2}\bigr]^{3/2}} =\frac{4}{\bigl[4(1+t^{2})\bigr]^{3/2}} =\frac{4}{8\,(1+t^{2})^{3/2}} =\frac{1}{2\,(1+t^{2})^{3/2}}.

Passo 4

A função \displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{2\,(1+t^{2})^{3/2}}
é sempre positiva e decresce à medida que \lvert t\rvert cresce.
Logo o máximo absoluto ocorre quando t=0.

Passo 5

Para t=0 a curva passa por
\mathbf{R}(0) =(2\cdot0-3,\,0^{2}-1) =(-3,\,-1).

Resposta

O ponto de curvatura máxima é (-3,\,-1).

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