Nos exercícios 24 a 29 , use o Teorema de Stokes para calcular
supondo c como orientação anti-horária olhando o eixo
positivo de cima para baixo.
,
é a interseção do parabolóide
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede ∮₍c₎
r, onde
F(x,y,z)=x y i + j +
k
e c é a curva de interseção de z= +
com o plano
, orientada anti-horária vista do eixo z positivo.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
F(x,y,z)=x y i +
e c é a curva de interseção de z=
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde S é uma superfície de contorno c com normal compatível com a orientação de c.
Passo 2
Calculamos o rotacional de F. Com F=(P,Q,R)=(x y,
,
) temos
Passo 3
Escolhemos S como a parte do plano
limitada por c. Parametrizamos por (u,v)→(x,y,z)=(u,v,v). Então
e a normal orientada (com componente z>0) é
Assim
Passo 4
O domínio D em (u,v) é a projeção de c no plano xy. Na interseção
e z=
+
vem
ou seja, D é o disco de raio ½ centrado em (0,½).
Passo 5
Fica
Como D é simétrico em relação ao eixo u
, a integral de u sobre D é zero.
Resposta
0