Nos exercícios 24 a 29 , use o Teorema de Stokes para calcular \int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r} supondo c como orientação anti-horária olhando o eixo z positivo de cima para baixo.
\vec{F}(x, y, z)=z^{2} \vec{i}+2 x \vec{j}-y^{3} \vec{k}, c é o círculo x^{2}+y^{2}=1 no plano x y.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo \vec{F}(x,y,z)=z^{2}\,\vec{i}+2x\,\vec{j}-y^{3}\,\vec{k}
e o contorno c: o círculo x^{2}+y^{2}=1 no plano xy, com orientação anti-horária vista do eixo z positivo.
Queremos calcular
\int_{c}\vec{F}\cdot d\vec{r}
usando o Teorema de Stokes, que afirma
\int_{c}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde S é uma superfície com \partial S=c e \vec{n} é o vetor normal unitário compatível com a orientação de c.

Passo 2

Calculamos \nabla\times\vec{F}. Escrevendo \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) com
F_{1}=z^{2},\quad F_{2}=2x,\quad F_{3}=-y^{3},
temos
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \partial_{x}&\partial_{y}&\partial_{z}\\\ z^{2}&2x&-y^{3} \end{vmatrix} =\bigl(\partial_{y}(-y^{3})-\partial_{z}(2x)\bigr)\vec{i} +\bigl(\partial_{z}(z^{2})-\partial_{x}(-y^{3})\bigr)\vec{j} +\bigl(\partial_{x}(2x)-\partial_{y}(z^{2})\bigr)\vec{k}.
Como \partial_{y}(-y^{3})=-3y^{2}, \partial_{z}(2x)=0, \partial_{z}(z^{2})=2z, \partial_{x}(-y^{3})=0, \partial_{x}(2x)=2, \partial_{y}(z^{2})=0,
segue-se
\nabla\times\vec{F}=-3y^{2}\,\vec{i}+2z\,\vec{j}+2\,\vec{k}.

Passo 3

Escolhemos S como o disco x^{2}+y^{2}\le1 no plano z=0.
A orientação anti-horária de c vista de cima corresponde a \vec{n}=(0,0,1).
Restrito a S (ou seja, z=0),
\nabla\times\vec{F}\big|_{S}=-3y^{2}\,\vec{i}+2\,\vec{k}.

Passo 4

No disco,
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} =(-3y^{2}\,\vec{i}+2\,\vec{k})\cdot(0,0,1)=2.
Logo
\int_{c}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{S}2\,dS =2\cdot\text{área}(S) =2\cdot\pi\cdot1^{2} =2\pi.á

Resposta

2\pi

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