Nos exercícios 24 a 29 , use o Teorema de Stokes para calcular \int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r} supondo c como orientação anti-horária olhando o eixo z positivo de cima para baixo. \vec{F}(x, y, z)=-3 y^{2} \vec{i}+4 z \vec{j}+6 x \vec{k}, c é o triângulo no plano z=1 / 2 y com vértices (2,0,0),(0,2,1) e (0,0,0).
Passo 1
O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{c}\vec{F}\cdot d\vec r
onde \displaystyle \vec F(x,y,z) = -3y^{2}\,\vec i + 4z\,\vec j + 6x\,\vec k
e c é o contorno orientado anti-horário (visto do eixo z positivo) do triângulo no plano
z = \tfrac12\,y
cujo vértices, projetados no plano xy, formam o triângulo com vértices (2,0), (0,2) e (0,0).
O conteúdo usado será o Teorema de Stokes, que diz
\int_{c}\vec{F}\cdot d\vec r = \iint_{S}(\nabla\times \vec F)\cdot \vec n\,dS,
onde S é a superfície limitada por c e \vec n é o vetor normal compatível com a orientação de c.
Passo 2
Calculamos o rotacional
\nabla\times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -3y^2 & 4z & 6x \end{vmatrix} = (-4)\,\vec i +(-6)\,\vec j +(6y)\,\vec k.
Passo 3
Parametrizamos S por
\vec r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;\tfrac12 y\bigr),
com (x,y) em D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le2\}.
Calculamos