Nos exercícios 24 a 29 , use o Teorema de Stokes para calcular \int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r} supondo c como orientação anti-horária olhando o eixo z positivo de cima para baixo.
\vec{F}(x, y, z)=-3 y^{2} \vec{i}+4 z \vec{j}+6 x \vec{k}, c é o triângulo no plano z=1 / 2 y com vértices (2,0,0),(0,2,1) e (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{c}\vec{F}\cdot d\vec r
onde \displaystyle \vec F(x,y,z) = -3y^{2}\,\vec i + 4z\,\vec j + 6x\,\vec k
e c é o contorno orientado anti-horário (visto do eixo z positivo) do triângulo no plano
z = \tfrac12\,y
cujo vértices, projetados no plano xy, formam o triângulo com vértices (2,0), (0,2) e (0,0).
O conteúdo usado será o Teorema de Stokes, que diz
\int_{c}\vec{F}\cdot d\vec r = \iint_{S}(\nabla\times \vec F)\cdot \vec n\,dS,
onde S é a superfície limitada por c e \vec n é o vetor normal compatível com a orientação de c.

Passo 2

Calculamos o rotacional
\nabla\times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -3y^2 & 4z & 6x \end{vmatrix} = (-4)\,\vec i +(-6)\,\vec j +(6y)\,\vec k.

Passo 3

Parametrizamos S por
\vec r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;\tfrac12 y\bigr),
com (x,y) em D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le2\}.
Calculamos
\vec r_x = (1,0,0),\quad \vec r_y = (0,1,\tfrac12),
\vec r_x\times \vec r_y = (0,-\tfrac12,1),
cujo componente em z é positivo, garantindo a orientação anti-horária de c.

Passo 4

O produto escalar é
(\nabla\times \vec F)\cdot(\vec r_x\times \vec r_y) = (-4, -6, 6y)\cdot(0,-\tfrac12,1) =3 + 6y.
Logo
\int_{c}\vec F\cdot d\vec r = \iint_{D}(3+6y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{2-x}(3+6y)\,dy\,dx.

Passo 5

Calculando a integral iterada:
\int_{0}^{2-x}(3+6y)\,dy =3(2-x)+3(2-x)^2 =18 -15x +3x^2,
\int_{0}^{2}\bigl(18 -15x +3x^2\bigr)\,dx =36 -30 +8 =14.

Resposta

\displaystyle 14

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