Nos exercícios 24 a 29 , use o Teorema de Stokes para calcular \int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r} supondo c como orientação anti-horária olhando o eixo z positivo de cima para baixo.
\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}, c é a interseção do parabolóide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=y.

Passo 1

O enunciado pede ∮₍c₎ F\cdot dr, onde
F(x,y,z)=x y i + x^{2} j + z^{2} k
e c é a curva de interseção de z= x^{2}+ y^{2} com o plano z=y, orientada anti-horária vista do eixo z positivo.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{c}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS
onde S é uma superfície de contorno c com normal compatível com a orientação de c.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F. Com F=(P,Q,R)=(x y, x^{2}, z^{2}) temos
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(0,0,2x- x)=(0,0,x).

Passo 3

Escolhemos S como a parte do plano z=y limitada por c. Parametrizamos por (u,v)→(x,y,z)=(u,v,v). Então
\mathbf{r}_u=(1,0,0),\quad \mathbf{r}_v=(0,1,1)
e a normal orientada (com componente z>0) é
\mathbf{N}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(0,-1,1).
Assim
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS =(\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{N}\,du\,dv =x\,du\,dv.

Passo 4

O domínio D em (u,v) é a projeção de c no plano xy. Na interseção z=y e z= x^{2}+ y^{2} vem
v = u^2+v^2 \;\Longrightarrow\; u^2+(v-\tfrac12)^2=\tfrac14,
ou seja, D é o disco de raio ½ centrado em (0,½).

Passo 5

Fica
\iint_{D} x\,dA =\iint_{D} u\,du\,dv.
Como D é simétrico em relação ao eixo u =0, a integral de u sobre D é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados