Nos Exercícios de 24 a 30, sejam
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ & C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
E A=C

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz elementar E tal que
E\,A = C,
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Isso cai no conteúdo de matrizes elementares e operações elementares de linha: cada matriz elementar corresponde a uma operação de linha aplicada à identidade.

Passo 2

Para descobrir qual operação de linha leva A em C, comparamos as linhas de A e de C:
  • A primeira e a segunda linhas de A e C são idênticas.
  • A terceira linha de A é (1,\,-1,\,0) e a de C é (2,\,1,\,-1).
Observamos que
(1,\,-1,\,0) + (1,\,2,\,-1) = (2,\,1,\,-1),
ou seja, para obter a linha 3 de C basta somar a linha 1 de A à linha 3 de A. Em notação de operação de linha:
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 + \text{L}_1.

Passo 3

A matriz elementar que representa essa operação é obtida aplicando o mesmo comando à matriz identidade I_3. Começamos com
I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e realizamos \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 + \text{L}_1, obtendo
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verifique que
E\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = C.

Resposta

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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