Nos Exercícios de 24 a 30, sejam
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ & C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
E C=D

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz elementar E tal que
E\,C = D,
onde
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o uso de matrizes elementares, que correspondem a uma operação elementar de linhas aplicada à matriz C.

Passo 2

Vamos comparar linha a linha de C e de D. Observamos que:
  • A primeira linha de C e de D são iguais: (1,2,-1).
  • A terceira linha de C e de D são iguais: (2,1,-1).
  • A segunda linha de C é (1,1,1), mas em D é (-3,-1,3). Logo, só houve alteração na linha 2.

Passo 3

Precisamos descobrir qual operação elementar transforma
\text{R}_2 = (1,1,1)
em
(-3,-1,3).
Procuramos um múltiplo da linha 3 para subtrair da linha 2:
(1,1,1) - 2\,(2,1,-1) = (1,1,1) - (4,2,-2) = (-3,-1,3).
Portanto a operação é
\text{R}_2 \;\leftarrow\;\text{R}_2 \;-\;2\,\text{R}_3.

Passo 4

A matriz elementar E que executa em qualquer matriz a operação
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_3 é obtida aplicando essa mesma operação na identidade I_3. Assim,
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
De fato, multiplica-se E por C e a única linha afetada é a segunda:
E\,C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1-2\cdot2 & 1-2\cdot1 & 1-2\cdot(-1)\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = D.

Resposta

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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