Nos Exercícios de 24 a 30, sejam
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ & C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
E D=C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e pede para achar a matriz elementar E tal que
E\,D = C.
O conteúdo usado é a relação entre matrizes elementares e operações elementares por linhas: pré-multiplicar por E significa aplicar uma operação de linha em D.

Passo 2

Observamos que, comparando D e C:
  • A primeira linha de D é igual à primeira linha de C.
  • A terceira linha de D é igual à terceira linha de C.
  • A segunda linha de D é (-3,\,-1,\,3) e a segunda linha de C é (1,\,1,\,1). Precisamos achar qual operação de linha converte (-3,-1,3) em (1,1,1).

Passo 3

Procuramos uma combinação do tipo
\text{linha}_2' \;=\;\text{linha}_2 + k\,\text{linha}_3
que satisfaça
(-3,-1,3) + k\,(2,1,-1) = (1,1,1).
Isso dá o sistema
-3 + 2k = 1,\quad -1 + k = 1,\quad 3 - k = 1.
De qualquer equação (por exemplo, -1 + k = 1) vem k=2. Logo a operação é
R_2 \;\longleftarrow\; R_2 + 2\,R_3.

Passo 4

A matriz elementar que corresponde à operação R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3 é obtida pegando a identidade I_3 e colocando 2 na posição (2,3). Assim
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
É fácil checar que E\,D realmente reproduz C.

Resposta

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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