Nos Exercícios de 24 a 30, sejam
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ & C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
Existe uma matriz elementar E tal que E A=D ? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Queremos achar, nos casos de B e C, uma matriz elementar E tal que
E\,A = B \quad\text{e}\quad E\,A = C,
sabendo que cada matriz elementar executa exatamente uma operação elementar de linha em A. Depois, verificar se existe E com E\,A=D.

Passo 2

Para obter B a partir de A basta trocar a linha 1 com a linha 3. A operação elementar é
R_1 \;\longleftrightarrow\; R_3.
A matriz elementar correspondente é a matriz identidade com as linhas 1 e 3 trocadas:
E_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
De fato,
E_{B}\,A =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = B.

Passo 3

Para obter C a partir de A basta adicionar a linha 1 à linha 3. A operação é
R_3 \;\longleftarrow\; R_3 + R_1.
A matriz elementar correspondente é a identidade com um 1 na posição (3,1):
E_{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Confirmando,
E_{C}\,A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = C.

Passo 4

Agora, para chegar em D a partir de A com uma única operação elementar teríamos de alterar apenas uma linha de A. Mas comparando
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad D=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix},
vemos que tanto a linha 2 quanto a linha 3 mudam em relação a A. Isso exigiria duas operações elementares de linha, não só uma. Portanto não existe matriz elementar E tal que
E\,A = D,
pois cada matriz elementar só realiza uma única operação de linha.

Resposta

E para B:
E_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
E para C:
E_{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Não existe E com E\,A=D, pois isso exigiria duas operações de linha em vez de uma só, e toda matriz elementar implementa exatamente uma única operação.

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