Nos Exercicios de 31 a 38, encontre a inversa da matriz elementar dada.
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz elementar
E = \begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Esse é um caso de inversão de matriz 2\times2 e também podemos usar a interpretação de operações elementares para encontrar a inversa.]

Passo 2

Para qualquer matriz
M = \begin{pmatrix}a & b\\[3pt]c & d\end{pmatrix},
a fórmula da inversa é
M^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[3pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1, b=2, c=0, d=1. Calculamos o determinante:
\det(E)=1\cdot1 - 2\cdot0 = 1.
Logo
E^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Interpretando como operação elementar, E adiciona 2 vezes a segunda linha à primeira. A operação inversa é subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira, exatamente a matriz
\begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix},
o que confirma o resultado anterior.]

Resposta

E^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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