Nos Exercícios 25-28, determine os valores de
com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas
:
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares por números de soluções: usamos operações elementares e análise de consistência (posto da matriz dos coeficientes versus posto da matriz aumentada).
Passo 2
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
e
. Chamando as equações de (1) e (2):
Isto é,
Passo 3
Analisamos o caso genérico
.
Então
Então
é determinado unicamente. Substituindo em (1) e (2), as duas equações passam a ser
isto é, uma única restrição linear para
. Com
fixo,
e
ficam ligados por uma equação só, gerando infinitas soluções (uma reta de soluções no espaço
).
Passo 4
Agora
dá
. Nesse caso a equação para
vira
Se
então fica
, que é impossível para
(pois
), logo o sistema fica inconsistente (sem solução).
Passo 5
Nunca temos exatamente uma solução, pois o sistema tem 2 equações e 3 incógnitas; o posto máximo da matriz de coeficientes é 2, sempre menor que o número de incógnitas, o que impede solução única.
Resposta
Sem solução:
.
Exatamente uma solução: nenhum valor de .
Infinidade de soluções: .
Exatamente uma solução: nenhum valor de
Infinidade de soluções: