Nos Exercícios 25-28, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y+ z=2
x+2 y-(a^2-3) z=a

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas x,y,z:
x+2y+z=2, x+2y-l(a^2-3r)z=a
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares por números de soluções: usamos operações elementares e análise de consistência (posto da matriz dos coeficientes versus posto da matriz aumentada).

Passo 2

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar x e y. Chamando as equações de (1) e (2):
(2)-(1): -l(a^2-3r)z ;-;z ;=;a-2 ;Longrightarrow;-l(a^2-2r)z=a-2
Isto é,
l(a^2-2r),z =2-a

Passo 3

Analisamos o caso genérico a^2-2neq0.
Então
z=2-aa^2-2
é determinado unicamente. Substituindo em (1) e (2), as duas equações passam a ser
x+2y=2-z e x+2y=2-z,
isto é, uma única restrição linear para x,y. Com z fixo, x e y ficam ligados por uma equação só, gerando infinitas soluções (uma reta de soluções no espaço (x,y)).

Passo 4

Agora a^2-2=0 a=pmraiz2. Nesse caso a equação para z vira
0cdot z =2-a
Se 2-aneq0 então fica 0=2-a, que é impossível para a=pmraiz2 (pois 2mpraiz2neq0), logo o sistema fica inconsistente (sem solução).

Passo 5

Nunca temos exatamente uma solução, pois o sistema tem 2 equações e 3 incógnitas; o posto máximo da matriz de coeficientes é 2, sempre menor que o número de incógnitas, o que impede solução única.

Resposta

Sem solução: a=pmraiz2.
Exatamente uma solução: nenhum valor de a.
Infinidade de soluções: aneqpmraiz2.

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