Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int \frac{2 x^{3}+1}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2x^{3} + 1}{x^{3}} \, dx
Estamos vendo integração de funções potenciais e uso da linearidade da integral (soma de integrais).

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando divisão de termos:
\frac{2x^{3} + 1}{x^{3}} = \frac{2x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} = 2 + x^{-3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e a linearidade:
\int (2 + x^{-3})\,dx = \int 2\,dx + \int x^{-3}\,dx = 2x + \frac{x^{-2}}{-2} + C = 2x - \frac{1}{2x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x)=2x - \tfrac{1}{2x^{2}} + C:
F'(x) = 2 - \frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3} = 2 + x^{-3} = \frac{2x^{3}+1}{x^{3}},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\int \frac{2x^{3} + 1}{x^{3}} \, dx = 2x - \frac{1}{2x^{2}} + C.

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