Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x+3)\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo envolvido é a regra de linearidade de integrais e a regra do expoente (ou regra de potência) para antiderivadas.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar em duas partes:
\int (x+3)\,dx = \int x\,dx + \int 3\,dx.
Em seguida, aplicamos a regra de potência em \int x\,dx e a regra básica em \int 3\,dx.

Passo 3

Para \int x\,dx, a regra de potência diz que
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Para \int 3\,dx, como 3 é constante, temos
\int 3\,dx = 3x.
Somando e adicionando a constante de integração C, obtemos
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + 3x + C.

Passo 4

Verificação por derivação: calculamos F'(x).
A derivada de \tfrac{x^{2}}{2} é x, a de 3x é 3, e a de C é 0. Logo,
F'(x) = x + 3,
que coincide exatamente com o integrando original.

Resposta

\int (x+3)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 3x + C.

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