Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int \sqrt[3]{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt[3]{x^{2}}\,dx
Este é um caso de integração de potência. Vamos usar a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevendo a raiz como potência, temos
\sqrt[3]{x^{2}} = x^{2/3},
portanto a integral torna-se
\int x^{2/3}\,dx.

Passo 3

Aplicando a fórmula com n=2/3,
n+1 = \frac{2}{3}+1 = \frac{5}{3},
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\int x^{2/3}\,dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5}\,x^{5/3} + C.

Passo 4

Verificação por derivação:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{3}{5}x^{5/3}\Bigr) = \tfrac{3}{5}\cdot \frac{5}{3}\,x^{2/3} = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^{2}},
confirmando o resultado.

Resposta

\int \sqrt[3]{x^{2}}\,dx = \frac{3}{5}\,x^{5/3} + C.

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