Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int \frac{1}{4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{4x^{2}}\,dx
O conteúdo aqui é a integração de potências, usando a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Fatoramos o coeficiente constante e reescrevemos a função como potência negativa:
\int \frac{1}{4x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\,\int x^{-2}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da integral de potências com n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1} + C.
Logo,
\frac{1}{4}\,\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{4}\,x^{-1} + C = -\frac{1}{4x} + C.

Passo 4

Verificamos por derivação:
\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{1}{4x}\Bigr) = -\tfrac{1}{4}\,\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -\tfrac{1}{4}\,(-1)x^{-2} = \frac{1}{4x^{2}},
que coincide com o integrando original.

Resposta

-\frac{1}{4x} + C

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