Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{2 \sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{2\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx
e depois verificar o resultado por derivação.
O conteúdo usado aqui é a regra de potência para integrar funções do tipo x^{n}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos tudo em potências de x:
\sqrt[3]{x}=x^{1/3} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{2\sqrt[3]{x}}=\tfrac12\,x^{-1/3}.
Assim o integrando fica
x^{1/3}-\tfrac12\,x^{-1/3}.

Passo 3

Aplicando a regra de potência \displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}, temos:
\int x^{1/3}dx =\frac{x^{(1/3)+1}}{\frac{1}{3}+1} =\frac{x^{4/3}}{4/3} =\tfrac34\,x^{4/3},
\int\bigl(-\tfrac12\,x^{-1/3}\bigr)dx =-\tfrac12\cdot\frac{x^{(-1/3)+1}}{-\tfrac13+1} =-\tfrac12\cdot\frac{x^{2/3}}{2/3} =-\tfrac34\,x^{2/3}.
Somando e acrescentando a constante C, obtemos
\int\Bigl(x^{1/3}-\tfrac12\,x^{-1/3}\Bigr)dx =\tfrac34\,x^{4/3}-\tfrac34\,x^{2/3}+C.

Passo 4

Para verificar, derivamos
F(x)=\tfrac34\,x^{4/3}-\tfrac34\,x^{2/3}+C.
Usando \displaystyle\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}:
F'(x) =\tfrac34\cdot\tfrac{4}{3}\,x^{1/3} -\tfrac34\cdot\tfrac{2}{3}\,x^{-1/3} =x^{1/3}-\tfrac12\,x^{-1/3},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\int\Bigl(\sqrt[3]{x}-\tfrac{1}{2\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx =\tfrac34\,x^{4/3}-\tfrac34\,x^{2/3}+C.

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