Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int \frac{t^{2}+2}{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral indefinida \displaystyle \int \frac{t^{2}+2}{t^{2}}\,dt
e verificar o resultado por derivação. O conteúdo é cálculo de antiderivadas usando a linearidade da integral e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando:
\frac{t^{2}+2}{t^{2}} = \frac{t^{2}}{t^{2}} + \frac{2}{t^{2}} = 1 + 2\,t^{-2}.

Passo 3

Agora aplicamos a integral termo a termo usando a regra da potência:
\int 1\,dt = t + C_{1},
\int 2\,t^{-2}\,dt = 2 \cdot \frac{t^{-1}}{-1} + C_{2} = -2\,t^{-1} + C_{2}.

Passo 4

Somando os resultados e unificando as constantes C_{1} e C_{2} em uma só constante C, obtemos
\int \frac{t^{2}+2}{t^{2}}\,dt = t - \frac{2}{t} + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos
F(t)=t - \frac{2}{t}.
Temos
F'(t) = \frac{d}{dt}(t) \;-\;\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{-1}\bigr) = 1 \;-\;2(-1)\,t^{-2} = 1 + 2\,t^{-2} = \frac{t^{2}+2}{t^{2}},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\int \frac{t^{2}+2}{t^{2}}\,dt = t - \frac{2}{t} + C.

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