Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int\left(x^{3}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int (x^{3}+2)\,dx. O conteúdo aqui é integração de polinômios; vamos usar a linearidade da integral e a regra de potência.

Passo 2

Aplicamos a linearidade:
\int(x^{3}+2)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int 2\,dx.

Passo 3

Usamos a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e a constante puxa fora da integral:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \qquad \int 2\,dx = 2x.

Passo 4

Somamos os resultados e adicionamos a constante de integração C:
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C.

Passo 5

Verificamos por derivação:
F'(x) = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{x^{4}}{4} + 2x + C\Bigr) = x^{3} + 2,
que coincide com o integrando.

Resposta

\int (x^{3}+2)\,dx = \frac{x^{4}}{4} + 2x + C.

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