Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
O conteúdo usado será a regra do poder para integrais:
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevemos cada parcela da soma como potência de x:
\sqrt{x} = x^{\tfrac12}, \qquad \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac12\,x^{-\tfrac12}.
Logo a integral vira
\int\Bigl(x^{\tfrac12} + \tfrac12\,x^{-\tfrac12}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder em cada termo:
para x^{\tfrac12}, tem-se
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.
para \tfrac12\,x^{-\tfrac12}, tem-se
\int \tfrac12\,x^{-\tfrac12}\,dx = \tfrac12 \cdot \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \tfrac12 \cdot \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = x^{\tfrac12}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante C, obtemos a primitiva
F(x) = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + x^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\,x^{\tfrac12} + \frac12\,x^{-\tfrac12} = x^{\tfrac12} + \frac{1}{2}\,x^{-\tfrac12},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + x^{\tfrac12} + C.

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