Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int\left(x^{3}-4 x+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva de
\int\bigl(x^{3}-4x+2\bigr)\,dx
ou seja, aplicar regras de integração de polinômios e depois verificar o resultado por derivação.

Passo 2

Usamos que a integral de soma é soma de integrais e constante sai da integral:
\int\bigl(x^{3}-4x+2\bigr)\,dx =\int x^{3}\,dx -4\int x\,dx +2\int 1\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra do poder \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} e \displaystyle\int1\,dx=x:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\quad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\quad \int1\,dx=x.

Passo 4

Juntando os resultados e incluindo a constante C:
F(x) =\frac{x^{4}}{4} -4\cdot\frac{x^{2}}{2} +2x +C =\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+2x+C.

Passo 5

Verificação por derivação:
F'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}+2x+C\Bigr) =x^{3}-4x+2,
que bate com o integrando.

Resposta

\boxed{\int\bigl(x^{3}-4x+2\bigr)\,dx =\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+2x+C}.

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