Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
  1. \sqrt{x y}+\operatorname{Vxy}-7 y

Passo 1

O enunciado pede: “ache \dfrac{dy}{dx} por derivação implícita” para a expressão dada. Vou assumir que a equação implícita é
\sqrt{x y}+\sqrt{x}\,y-7y=0,
porque a notação original tinha \operatorname{Vxy} e interpretei isso como \sqrt{x}\,y. Não tenho certeza absoluta dessa interpretação, mas vou resolver com essa hipótese. O que precisa ser encontrado é \dfrac{dy}{dx} em função de x e y.

Passo 2

Plano e regras que vou usar (pequena “aula” rápida):
  • Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que y é função de x (ou seja, y=y(x)), então sempre que derivarmos algo que contenha y aparece y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Regras usadas:
    • Regra da cadeia: se u(x)=g(h(x)) então u'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
    • Regra do produto: se u(x)=p(x)q(x) então u'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
    • Derivada de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Em particular, \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Vou aplicar essas regras termo a termo na equação \sqrt{xy}+\sqrt{x}\,y-7y=0.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \sqrt{xy}. Escrevo \sqrt{xy}=(xy)^{1/2}. Aplicando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(xy)^{1/2}=\frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(xy).
Agora \dfrac{d}{dx}(xy) é derivada de um produto ( x\cdot y), então pela regra do produto:
\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Substituindo:
\frac{d}{dx}\sqrt{xy}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\,(y + x y').

Passo 4

Derivada do segundo termo \sqrt{x}\,y. É produto entre p(x)=\sqrt{x} e q(x)=y. Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\,y\big)=\frac{d}{dx}\sqrt{x}\cdot y + \sqrt{x}\cdot y'.
E \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Logo
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\,y\big)=\frac{y}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\,y'.

Passo 5

Derivada do terceiro termo -7y é simplesmente -7y', porque -7 é constante multiplicando y.

Passo 6

Agora somo as derivadas dos termos e igualo a derivada do lado direito (derivada de 0 é 0):
\frac{1}{2\sqrt{xy}}\,(y + x y')+\left(\frac{y}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\,y'\right)-7y'=0.

Passo 7

Vou organizar a expressão separando os termos que contêm y' e os que não contêm:
Primeiro expando a primeira parcela:
\frac{y}{2\sqrt{xy}}+\frac{x y'}{2\sqrt{xy}}+\frac{y}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\,y'-7y'=0.
Agrupando os coeficientes de y':
\Big(\frac{x}{2\sqrt{xy}}+\sqrt{x}-7\Big)y' + \Big(\frac{y}{2\sqrt{xy}}+\frac{y}{2\sqrt{x}}\Big)=0.

Passo 8

Isolo y':
\Big(\frac{x}{2\sqrt{xy}}+\sqrt{x}-7\Big)y' = -\Big(\frac{y}{2\sqrt{xy}}+\frac{y}{2\sqrt{x}}\Big).
Portanto
y' = -\,\frac{\dfrac{y}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{y}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}+\sqrt{x}-7}.

Passo 9

Faço algumas simplificações úteis usando \sqrt{xy}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}.
  • \dfrac{y}{2\sqrt{xy}}=\dfrac{y}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} porque y/\sqrt{y}=\sqrt{y}.
  • \dfrac{x}{2\sqrt{xy}}=\dfrac{x}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} porque x/\sqrt{x}=\sqrt{x}.
Substituindo essas formas:
y' = -\,\frac{\dfrac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{y}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}+\sqrt{x}-7}.
No numerador fatoro \dfrac{1}{2\sqrt{x}}:
\text{numerador}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\big(\sqrt{y}+y\big)=\frac{\sqrt{y}(1+\sqrt{y})}{2\sqrt{x}}.
Então
y'=-\,\frac{\dfrac{\sqrt{y}(1+\sqrt{y})}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}+\sqrt{x}-7}.

Passo 10

Multiplico numerador e denominador por 2\sqrt{x} para eliminar frações:
  • Numerador vira -\sqrt{y}(1+\sqrt{y}).
  • Denominador vira \dfrac{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}+2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}-14\sqrt{x}, que simplifica para \dfrac{x}{\sqrt{y}}+2x-14\sqrt{x}.
Assim uma forma simplificada é
y' = -\,\frac{\sqrt{y}\,(1+\sqrt{y})}{\dfrac{x}{\sqrt{y}}+2x-14\sqrt{x}}.
Se preferir eliminar a fração no denominador multiplicando por \sqrt{y}, obtem-se outra forma limpa:
y' = -\,\frac{y(1+\sqrt{y})}{x+2x\sqrt{y}-14\sqrt{x}\sqrt{y}}.

Resposta

y'=-\frac{y(1+\sqrt{y})}{x+2x\sqrt{y}-14\sqrt{x}\sqrt{y}}

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