Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
-
Passo 1
O enunciado pede: “ache
por derivação implícita” para a expressão dada. Vou assumir que a equação implícita é
porque a notação original tinha
e interpretei isso como
. Não tenho certeza absoluta dessa interpretação, mas vou resolver com essa hipótese. O que precisa ser encontrado é
em função de
e
.
Passo 2
Plano e regras que vou usar (pequena “aula” rápida):
- Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que é função de (ou seja, ), então sempre que derivarmos algo que contenha aparece . - Regras usadas:
- Regra da cadeia: se
então . - Regra do produto: se
então . - Derivada de potência:
. Em particular, .
- Regra da cadeia: se
- Vou aplicar essas regras termo a termo na equação
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
. Escrevo
. Aplicando regra da cadeia:
Agora
é derivada de um produto (
), então pela regra do produto:
Substituindo:
Passo 4
Derivada do segundo termo
. É produto entre
e
. Pela regra do produto:
E
. Logo
Passo 5
Derivada do terceiro termo
é simplesmente
, porque
é constante multiplicando
.
Passo 6
Agora somo as derivadas dos termos e igualo a derivada do lado direito (derivada de
é
):
Passo 7
Vou organizar a expressão separando os termos que contêm
e os que não contêm:
Primeiro expando a primeira parcela:
Primeiro expando a primeira parcela:
Agrupando os coeficientes de
:
Passo 8
Isolo
:
Portanto
Passo 9
Faço algumas simplificações úteis usando
.
-
porque . -
porque .
Substituindo essas formas:
No numerador fatoro
:
Então
Passo 10
Multiplico numerador e denominador por
para eliminar frações:
- Numerador vira
. - Denominador vira
, que simplifica para .
Assim uma forma simplificada é
Se preferir eliminar a fração no denominador multiplicando por
, obtem-se outra forma limpa: