Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
(19.) y=\cos (x-y)
(21) \operatorname{sec} ^{2} x+\operatorname{cosec}^{2} y=4
(20) x \operatorname{sen} y+v \cos x=1

Passo 1

O enunciado pede: achar \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita para cada uma das três equações dadas. As equações fornecidas são (peguei-as exatamente do enunciado):
  • (19) \;y=\cos(x-y).
  • (20) \;x\operatorname{sen} y + v\cos x = 1. Observação: o enunciado usa a letra v. Vou tratá-la como uma constante (parâmetro) porque a questão pede somente \dfrac{dy}{dx}; se v dependesse de x seria necessário também conhecer \dfrac{dv}{dx}.
  • (21) \;\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{cosec}^{2}y=4.
O objetivo é, para cada uma, diferenciar em relação a x, lembrando que y=y(x) é função de x (ou seja, toda vez que derivarmos uma expressão com y usamos a regra da cadeia e aparecera \dfrac{dy}{dx}, que chamarei de y'). A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Relembrando e explicando as regras que vamos usar (didaticamente e sem pular etapas):
  • Derivada de funções trigonométricas básicas (com respeito a sua variável):
    \dfrac{d}{dx}\bigl(\sin u\bigr)=\cos u\cdot u',
    \dfrac{d}{dx}\bigl(\cos u\bigr)=-\sin u\cdot u',
    \dfrac{d}{dx}\bigl(\tan u\bigr)=\operatorname{sec}^{2}u\cdot u',
    \dfrac{d}{dx}\bigl(\csc u\bigr)=-\csc u\cot u\cdot u'.
    Aqui u=u(x) e u'=\dfrac{du}{dx}. Isso mostra a cadeia: primeiro deriva a função externa (por ex. \cos) depois multiplica pela derivada do argumento u.
  • Derivada de potências simples de uma função: \dfrac{d}{dx}\bigl([u(x)]^{2}\bigr)=2u(x)\,u'(x). Assim, por exemplo, \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec}^{2}x)=2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Útil para termos como x\sin y (aqui x varia e \sin y também, pois y depende de x).
  • Diferenciação implícita: ao derivar ambos os lados de uma equação com y(x), tratamos y como função de x e introduzimos y'. Depois isolamos y' para obter \dfrac{dy}{dx}.
Agora aplicamos essas regras problema a problema, mostrando cada conta passo a passo.

Passo 3

  1. Escrevo a igualdade e vou derivar ambos os lados em relação a x:
y=\cos(x-y).
  1. Derivando o lado esquerdo:
\frac{d}{dx}(y)=y'.
  1. Derivando o lado direito: é \cos(u) com u=x-y. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x-y)\bigr)=-\sin(x-y)\cdot\frac{d}{dx}(x-y).
Agora \dfrac{d}{dx}(x-y)=1-y' porque a derivada de x é 1 e da função y(x) é y'. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x-y)\bigr)=-\sin(x-y)\,(1-y').
  1. Igualando as duas derivadas:
y'=-\sin(x-y)\,(1-y').
  1. Agora isolamos y'. Primeiro distribuímos no lado direito:
y'=-\sin(x-y)+\sin(x-y)\,y'.
  1. Colocamos os termos com y' no mesmo lado:
y'-\sin(x-y)\,y'=-\sin(x-y).
  1. Fatorando y':
y'\bigl(1-\sin(x-y)\bigr)=-\sin(x-y).
  1. Finalmente isolamos y':
y'=\frac{-\sin(x-y)}{1-\sin(x-y)}.
Opcionalmente pode escrever com sinal trocado:
y'=\frac{\sin(x-y)}{\sin(x-y)-1}.
Ambas formas são equivalentes.

Passo 4

  1. Escrevo a equação:
x\sin y + v\cos x = 1.
  1. Derivo termo a termo. Lado direito é constante, então sua derivada é 0.
  2. Derivada de x\sin y: é produto u(x)=x e w(x)=\sin y(x). Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(x\sin y\bigr)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\sin y + x\cdot\frac{d}{dx}(\sin y).
Aqui \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\cdot y' (regra da cadeia). Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x\sin y\bigr)=\sin y + x\cos y\;y'.
  1. Derivada de v\cos x: como v é constante, é v vezes a derivada de \cos x, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(v\cos x\bigr)=v\cdot(-\sin x)=-v\sin x.
  1. Colocando tudo junto (derivada do lado esquerdo igual a zero):
\sin y + x\cos y\;y' - v\sin x = 0.
  1. Isolando o termo com y':
x\cos y\;y' = v\sin x - \sin y.
  1. Finalmente
y'=\frac{v\sin x - \sin y}{x\cos y},
desde que x\cos y\neq 0. Esta é a derivada solicitada (no caso em que v é constante).

Passo 5

  1. Escrevo a equação:
\operatorname{sec}^{2}x+\csc^{2}y=4.
  1. Derivo ambos os lados em relação a x. A derivada do lado direito (constante 4) é 0.
  2. Derivada de \operatorname{sec}^{2}x: é uma composição [\,\operatorname{sec} x\,]^{2}. Pela regra da potência e da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=2\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x).
E \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
  1. Derivada de \csc^{2}y: é [\,\csc y\,]^{2} com y=y(x). Aplicando potência e cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\csc^{2}y\bigr)=2\csc y\cdot\frac{d}{dx}(\csc y).
E \dfrac{d}{dx}(\csc y)=-(\csc y\cot y)\,y'. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\csc^{2}y\bigr)=2\csc y\cdot\bigl(-\csc y\cot y\,y'\bigr)=-2\csc^{2}y\cot y\;y'.
  1. Somando as derivadas e igualando a zero:
2\operatorname{sec}^{2}x\tan x - 2\csc^{2}y\cot y\;y' = 0.
  1. Isolando y':
-2\csc^{2}y\cot y\;y' = -2\operatorname{sec}^{2}x\tan x
ou, simplificando os sinais,
2\csc^{2}y\cot y\;y' = 2\operatorname{sec}^{2}x\tan x.
  1. Dividindo por 2\csc^{2}y\cot y (supondo que não seja zero):
y'=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\tan x}{\csc^{2}y\cot y}.
  1. Se desejar, pode-se reescrever usando identidades \operatorname{sec}^{2}=\dfrac{1}{\cos^{2}} e \csc^{2}=\dfrac{1}{\sin^{2}}. Uma forma equivalente é
y'=\frac{\sin x\,\sin^{3}y}{\cos^{3}x\,\cos y},
mas a forma mais compacta e direta é a do passo 7:
y'=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\tan x}{\csc^{2}y\cot y}.

Resposta

(19) \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{\sin(x-y)}{1-\sin(x-y)}
(20) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{v\sin x-\sin y}{x\cos y}
(21) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\operatorname{sec}^{2}x\tan x}{\csc^{2}y\cot y}

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