Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
(19.)
(21)
(20)
(21)
(20)
Passo 1
O enunciado pede: achar
por diferenciação implícita para cada uma das três equações dadas. As equações fornecidas são (peguei-as exatamente do enunciado):
- (19)
. - (20)
. Observação: o enunciado usa a letra . Vou tratá-la como uma constante (parâmetro) porque a questão pede somente ; se dependesse de seria necessário também conhecer . - (21)
.
O objetivo é, para cada uma, diferenciar em relação a
, lembrando que
é função de
(ou seja, toda vez que derivarmos uma expressão com
usamos a regra da cadeia e aparecera
, que chamarei de
). A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Relembrando e explicando as regras que vamos usar (didaticamente e sem pular etapas):
-
Derivada de funções trigonométricas básicas (com respeito a sua variável):
,
,
,
.
Aquie . Isso mostra a cadeia: primeiro deriva a função externa (por ex. ) depois multiplica pela derivada do argumento . -
Derivada de potências simples de uma função:
. Assim, por exemplo, . -
Regra do produto:
. Útil para termos como (aqui varia e também, pois depende de ). -
Diferenciação implícita: ao derivar ambos os lados de uma equação com
, tratamos como função de e introduzimos . Depois isolamos para obter .
Agora aplicamos essas regras problema a problema, mostrando cada conta passo a passo.
Passo 3
- Escrevo a igualdade e vou derivar ambos os lados em relação a
:
- Derivando o lado esquerdo:
- Derivando o lado direito: é
com . Pela regra da cadeia,
Agora
porque a derivada de
é
e da função
é
. Portanto
- Igualando as duas derivadas:
- Agora isolamos
. Primeiro distribuímos no lado direito:
- Colocamos os termos com
no mesmo lado:
- Fatorando
:
- Finalmente isolamos
:
Opcionalmente pode escrever com sinal trocado:
Ambas formas são equivalentes.
Passo 4
- Escrevo a equação:
-
Derivo termo a termo. Lado direito é constante, então sua derivada é
. -
Derivada de
: é produto e . Pela regra do produto,
Aqui
e
(regra da cadeia). Logo
- Derivada de
: como é constante, é vezes a derivada de , ou seja
- Colocando tudo junto (derivada do lado esquerdo igual a zero):
- Isolando o termo com
:
- Finalmente
desde que
. Esta é a derivada solicitada (no caso em que
é constante).
Passo 5
- Escrevo a equação:
-
Derivo ambos os lados em relação a
. A derivada do lado direito (constante ) é . -
Derivada de
: é uma composição . Pela regra da potência e da cadeia,
E
. Assim
- Derivada de
: é com . Aplicando potência e cadeia,
E
. Logo
- Somando as derivadas e igualando a zero:
- Isolando
:
ou, simplificando os sinais,
- Dividindo por
(supondo que não seja zero):
- Se desejar, pode-se reescrever usando identidades
e . Uma forma equivalente é
mas a forma mais compacta e direta é a do passo 7:
Resposta
(19)
(20)
(21)