Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
  1. 4 x^{*}-9 y^{*}=1
  2. x^{2}+y^{2}=7 x y

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita para duas equações. As duas informações que temos são:
  • Exercício 2: 4x^{2}-9y^{2}=1
  • Exercício 4: x^{2}+y^{2}=7xy
O que é pedido em cada caso: encontrar a expressão de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Antes de derivar, recapitulemos duas regras que vamos usar (explicadas de um jeito prático):
  • Regra da potência para funções de x: a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,.
  • Regra da cadeia (quando temos y dependendo de x): se uma expressão tem y (que é função de x), por exemplo \,y^{n}, a derivada em relação a x é \,n y^{n-1}\dfrac{dy}{dx}. Em palavras: derivar a potência como se fosse x^{n} e multiplicar por y' (porque y depende de x).
  • Regra do produto: a derivada de u(x)\,v(x) é u'(x)v(x)+u(x)v'(x). No caso de x\cdot y, onde y depende de x, temos \dfrac{d}{dx}(x y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Agora aplicamos essas regras em cada equação.

Passo 3

Exercício 2: derivar \,4x^{2}-9y^{2}=1.
Derivando membro a membro em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(4x^{2}-9y^{2}\big)=\frac{d}{dx}(1).
Usando a regra da potência para x^{2} e a regra da cadeia para y^{2}:
4\cdot 2x - 9\cdot 2y\,y' = 0.
Isto é
8x - 18y\,y' = 0.
Isolando y':
-18y\,y' = -8x \quad\Rightarrow\quad y'=\frac{-8x}{-18y}=\frac{4x}{9y}.
Observação rápida: essa fórmula vale quando y\neq 0. Se y=0 deve-se checar o ponto específico na equação original para decidir comportamento da derivada.

Passo 4

Exercício 4: derivar \,x^{2}+y^{2}=7xy.
Derivando membro a membro em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{d}{dx}\big(7xy\big).
Aplicando regra da potência e regra da cadeia no lado esquerdo, e regra do produto no lado direito:
2x + 2y\,y' = 7\big( y + x\,y' \big).
Agora desenvolve o lado direito:
2x + 2y\,y' = 7y + 7x\,y'.
Reorganiza para agrupar os termos com y' de um lado:
2y\,y' - 7x\,y' = 7y - 2x.
Fatora y':
y'(2y - 7x) = 7y - 2x.
Finalmente isola y':
y' = \frac{7y - 2x}{2y - 7x}.
Observação: essa expressão é válida quando 2y-7x\neq 0. Em pontos onde 2y-7x=0 é preciso analisar separadamente (pode ser que não exista derivada ou que a expressão limite precise ser analisada).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4x}{9y}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{7y-2x}{2y-7x}

Exercícios relacionados