Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
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Passo 1
O enunciado pede que a gente ache
por diferenciação implícita para duas equações. As duas informações que temos são:
- Exercício 2:
- Exercício 4:
O que é pedido em cada caso: encontrar a expressão de
em termos de
e
.
Passo 2
Antes de derivar, recapitulemos duas regras que vamos usar (explicadas de um jeito prático):
- Regra da potência para funções de
: a derivada de é . - Regra da cadeia (quando temos
dependendo de ): se uma expressão tem (que é função de ), por exemplo , a derivada em relação a é . Em palavras: derivar a potência como se fosse e multiplicar por (porque depende de ). - Regra do produto: a derivada de
é . No caso de , onde depende de , temos .
Agora aplicamos essas regras em cada equação.
Passo 3
Exercício 2: derivar
Derivando membro a membro em relação a
:
Usando a regra da potência para
e a regra da cadeia para
:
Isto é
Isolando
:
Observação rápida: essa fórmula vale quando
. Se
deve-se checar o ponto específico na equação original para decidir comportamento da derivada.
Passo 4
Exercício 4: derivar
Derivando membro a membro em relação a
:
Aplicando regra da potência e regra da cadeia no lado esquerdo, e regra do produto no lado direito:
Agora desenvolve o lado direito:
Reorganiza para agrupar os termos com
de um lado:
Fatora
:
Finalmente isola
:
Observação: essa expressão é válida quando
. Em pontos onde
é preciso analisar separadamente (pode ser que não exista derivada ou que a expressão limite precise ser analisada).