Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar
por derivação implícita em duas equações numeradas:
- (25)
. (Aqui a notação significa .) - (26)
— o enunciado está incompleto porque falta o lado direito da igualdade.
Informações relevantes:
- Em (25) a incógnita é
, que deve ser tratada como função de : . - Em (26) não há informação suficiente para derivar porque a equação não está completa (falta o termo à direita).
Passo 2
Antes de derivar, vamos revisar as regras que vamos usar (tudo aqui será aplicado com
, então valem as cadeias):
- Regra da cadeia: se
então . Aqui é . - Derivadas das funções trigonométricas usuais (para uma função interna
): -
. -
. -
. -
.
-
- Regra do produto/ potência simples:
.
Explicando de forma prática: sempre que aparecer
dentro de uma função (por exemplo
), ao derivar aparece um fator
devido à regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar a equação (25)
termo a termo em relação a
.
- Derivada de
. Pense em . Use com :
E
pela regra da cadeia. Então
Passo 4
- Derivada de
. Use a fórmula com . Aqui . Logo
Passo 5
- Derivada do lado direito
. Use com e . Assim
Passo 6
Agora junte tudo (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
Passo 7
Desenvolva o produto no segundo termo e organize os termos que contêm
:
Agrupe os termos com
no lado esquerdo:
Passo 8
Isole
. Some
aos dois lados e divida pelo coeficiente de
:
Logo
Este é o
procurado para o exercício (25). Observação útil para prova: mantenha a forma fatorada/organizada e verifique se não há fatores que se cancelem em casos particulares — mas a expressão acima é a forma geral.
Passo 9
Sobre o exercício (26): a equação dada é
mas falta o que está do outro lado do sinal de igualdade. Sem o membro direito não se pode derivar a igualdade nem isolar
. Portanto não há como determinar
para (26) com a informação fornecida.
Resposta
Não é possível determinar
para (26): enunciado incompleto (falta o lado direito da igualdade).