Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
  1. \operatorname{sec} ^{2} y+\operatorname{cotg}(x-y)=\operatorname{tg}^{2} x
  2. \operatorname{cosec}(x-y)+\operatorname{sec} (x+y)=

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} por derivação implícita em duas equações numeradas:
  • (25) \operatorname{sec}^{2} y + \operatorname{cotg}(x-y)=\tan^{2} x. (Aqui a notação \operatorname{cotg} significa \cot.)
  • (26) \operatorname{cosec}(x-y)+\operatorname{sec}(x+y)= — o enunciado está incompleto porque falta o lado direito da igualdade.
Informações relevantes:
  • Em (25) a incógnita é y, que deve ser tratada como função de x: y=y(x).
  • Em (26) não há informação suficiente para derivar porque a equação não está completa (falta o termo à direita).

Passo 2

Antes de derivar, vamos revisar as regras que vamos usar (tudo aqui será aplicado com y=y(x), então valem as cadeias):
  • Regra da cadeia: se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}[F(u(x))]=F'(u(x))\cdot u'(x). Aqui u'(x) é \dfrac{du}{dx}.
  • Derivadas das funções trigonométricas usuais (para uma função interna u(x)):
    • \dfrac{d}{dx}[\tan u]=\operatorname{sec}^{2}u\cdot u'.
    • \dfrac{d}{dx}[\operatorname{sec} u]=\operatorname{sec} u\,\tan u\cdot u'.
    • \dfrac{d}{dx}[\cot u]=-\csc^{2}u\cdot u'.
    • \dfrac{d}{dx}[\csc u]=-\csc u\,\cot u\cdot u'.
  • Regra do produto/ potência simples: \dfrac{d}{dx}[u^{2}]=2u\cdot u'.
Explicando de forma prática: sempre que aparecer y dentro de uma função (por exemplo \operatorname{sec}^2 y), ao derivar aparece um fator y'=\dfrac{dy}{dx} devido à regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar a equação (25)
\operatorname{sec}^{2} y + \cot(x-y)=\tan^{2} x
termo a termo em relação a x.
  1. Derivada de \operatorname{sec}^{2} y. Pense em \operatorname{sec}^{2} y=(\operatorname{sec} y)^{2}. Use \dfrac{d}{dx}[u^{2}]=2u\,u' com u=\operatorname{sec} y:
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}^{2} y]=2\operatorname{sec} y\cdot\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} y].
E \dfrac{d}{dx}[\operatorname{sec} y]=\operatorname{sec} y\,\tan y\cdot y' pela regra da cadeia. Então
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}^{2} y]=2\operatorname{sec} y\cdot(\operatorname{sec} y\,\tan y\cdot y')=2\operatorname{sec}^{2}y\,\tan y\;y'.

Passo 4

  1. Derivada de \cot(x-y). Use a fórmula \dfrac{d}{dx}[\cot u]=-\csc^{2}u\cdot u' com u=x-y. Aqui u'=\dfrac{d}{dx}(x-y)=1-y'. Logo
\frac{d}{dx}[\cot(x-y)]=-\csc^{2}(x-y)\cdot(1-y').

Passo 5

  1. Derivada do lado direito \tan^{2} x. Use \dfrac{d}{dx}[v^{2}]=2v\,v' com v=\tan x e \dfrac{d}{dx}[\tan x]=\operatorname{sec}^{2}x. Assim
\frac{d}{dx}[\tan^{2} x]=2\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Agora junte tudo (derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
2\operatorname{sec}^{2}y\,\tan y\;y' \;+\; \big(-\csc^{2}(x-y)\cdot(1-y')\big) \;=\; 2\tan x\;\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 7

Desenvolva o produto no segundo termo e organize os termos que contêm y':
2\operatorname{sec}^{2}y\,\tan y\;y' \;-\;\csc^{2}(x-y)\;+\;\csc^{2}(x-y)\,y' \;=\; 2\tan x\;\operatorname{sec}^{2}x.
Agrupe os termos com y' no lado esquerdo:
\big(2\operatorname{sec}^{2}y\,\tan y \;+\; \csc^{2}(x-y)\big)\,y' \;-\; \csc^{2}(x-y) \;=\; 2\tan x\;\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 8

Isole y'. Some \csc^{2}(x-y) aos dois lados e divida pelo coeficiente de y':
\big(2\operatorname{sec}^{2}y\,\tan y \;+\; \csc^{2}(x-y)\big)\,y' \;=\; 2\tan x\;\operatorname{sec}^{2}x \;+\; \csc^{2}(x-y).
Logo
y'=\dfrac{2\tan x\;\operatorname{sec}^{2}x \;+\; \csc^{2}(x-y)}{2\operatorname{sec}^{2}y\,\tan y \;+\; \csc^{2}(x-y)}.
Este é o \dfrac{dy}{dx} procurado para o exercício (25). Observação útil para prova: mantenha a forma fatorada/organizada e verifique se não há fatores que se cancelem em casos particulares — mas a expressão acima é a forma geral.

Passo 9

Sobre o exercício (26): a equação dada é
\csc(x-y)+\operatorname{sec}(x+y)=
mas falta o que está do outro lado do sinal de igualdade. Sem o membro direito não se pode derivar a igualdade nem isolar y'. Portanto não há como determinar \dfrac{dy}{dx} para (26) com a informação fornecida.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\dfrac{2\tan x\;\operatorname{sec}^{2}x + \csc^{2}(x-y)}{2\operatorname{sec}^{2}y\;\tan y + \csc^{2}(x-y)}
Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx} para (26): enunciado incompleto (falta o lado direito da igualdade).

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