Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
(21)
23)
25.
23)
25.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e as informações dadas:
- (21) A equação é
. Pedem . - (23) A equação é
. Pedem . - (25) A equação é
. Pedem .
Em todas as três,
é função implícita de
; portanto vamos derivar ambos os lados em relação a
aplicando diferenciação implícita, usando regra da cadeia sempre que aparecer
.
Passo 2
Lembrete das regras que vou usar (mini-aula rápida, passo a passo):
- Regra da cadeia: se
então . No nosso caso, quando derivamos algo em que aparece , (onde ). - Regra do produto:
. - Derivadas trigonométricas básicas:
- Derivadas de funções trigonométricas inversas (formas gerais):
Observação: as barras aparecem por causa do ramo principal; se soubermos que e estão em um intervalo onde são positivos (por exemplo ) podemos trocar por e por . - Derivadas de funções reciprocais trigonométricas:
- Para
(interpreto como ), aplicamos a cadeia: derive a potência e depois a função interna.
Agora aplico essas regras a cada equação.
Passo 3
Equação:
.
- Derivo cada termo em relação a
. Usando as fórmulas das inversas:
- Derivando a equação inteira:
pois a derivada da constante
é
.
- Isolando
:
ou, multiplicando por
,
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Comentário prático: se o problema estiver restrito ao ramo com
e , então e e a expressão simplifica para
Passo 4
Equação:
.
Vou usar regra do produto e regra da cadeia. Lembre que
porque
depende de
.
- Derivo o primeiro termo
pela regra do produto:
- Derivo o segundo termo
: aqui também produto, mas observe que depende de diretamente e depende de :
- Soma das derivadas deve ser igual à derivada do lado direito (derivada de
é ):
- Agrupo os termos com
:
- Isolo
:
portanto
Passo 5
Equação:
. (Trato
como constante; sua derivada é
.)
- Primeiro termo:
é . Derivando com respeito a , aplicar regra da cadeia:
- derivada em relação a
de é ; - como
, ao derivar em relação a temos multiplicar por .
Logo
(Outra forma de ver:
, e depois aplicar
.)
- Segundo termo:
é . Derivada de é . Aqui tem derivada . Então
- Derivando a equação inteira e lembrando que
:
- Distribuo o segundo termo:
- Agrupo os termos com
:
- Finalmente isolando
:
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: fizemos diferenciação implícita em cada caso, aplicando regra da cadeia sempre que apareceu
, e produto quando necessário. Se algo ficou confuso, releia passo a passo e tente reproduzir cada derivada isoladamente (por exemplo, calcule somente a derivada de
antes de juntar tudo). Você consegue — respira fundo e pratica mais alguns exercícios parecidos que eu te explico depois!