Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
(21) \operatorname{sec} ^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} y=4
23) x \operatorname{sen} y+y \cos x=1
25. \operatorname{sec} ^{2} y+\operatorname{cotg}(x-y)=\mathrm{t}_{1}

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e as informações dadas:
  • (21) A equação é \operatorname{sec}^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} y=4. Pedem \dfrac{dy}{dx}.
  • (23) A equação é x\operatorname{sen} y+y\cos x=1. Pedem \dfrac{dy}{dx}.
  • (25) A equação é \operatorname{sec}^{2} y+\operatorname{cotg}(x-y)=t_{1}. Pedem \dfrac{dy}{dx}.
Em todas as três, y é função implícita de x; portanto vamos derivar ambos os lados em relação a x aplicando diferenciação implícita, usando regra da cadeia sempre que aparecer y.

Passo 2

Lembrete das regras que vou usar (mini-aula rápida, passo a passo):
  • Regra da cadeia: se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}[f(u(x))]=f'(u(x))\cdot u'(x). No nosso caso, quando derivamos algo em que aparece y, u'(x)=y' (onde y'=\dfrac{dy}{dx}).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivadas trigonométricas básicas: \dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x,\qquad \dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x.
  • Derivadas de funções trigonométricas inversas (formas gerais): \dfrac{d}{dx}[\operatorname{sec}^{-1} x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}},\qquad \dfrac{d}{dx}[\operatorname{cosec}^{-1} x]=-\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}.Observação: as barras |\cdot| aparecem por causa do ramo principal; se soubermos que x e y estão em um intervalo onde são positivos (por exemplo x>1,y>1) podemos trocar |x| por x e |y| por y.
  • Derivadas de funções reciprocais trigonométricas: \dfrac{d}{dx}[\cot u]=-\csc^{2}u\cdot u'.
  • Para \operatorname{sec}^{2}y (interpreto como (\operatorname{sec} y)^{2}), aplicamos a cadeia: derive a potência e depois a função interna.
Agora aplico essas regras a cada equação.

Passo 3

Equação: \operatorname{sec}^{-1} x+\operatorname{cosec}^{-1} y=4.
  1. Derivo cada termo em relação a x. Usando as fórmulas das inversas:
\dfrac{d}{dx}[\operatorname{sec}^{-1} x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}, \qquad \dfrac{d}{dx}[\operatorname{cosec}^{-1} y]=-\dfrac{1}{|y|\sqrt{y^2-1}}\cdot y'.
  1. Derivando a equação inteira:
\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}-\dfrac{1}{|y|\sqrt{y^2-1}}\,y'=0,
pois a derivada da constante 4 é 0.
  1. Isolando y':
-\dfrac{1}{|y|\sqrt{y^2-1}}\,y'=-\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
ou, multiplicando por -1,
\dfrac{1}{|y|\sqrt{y^2-1}}\,y'=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.
  1. Multiplicando ambos os lados por |y|\sqrt{y^2-1}:
y'=\dfrac{|y|\sqrt{y^2-1}}{|x|\sqrt{x^2-1}}.
  1. Comentário prático: se o problema estiver restrito ao ramo com x>1 e y>1, então |x|=x e |y|=y e a expressão simplifica para
y'=\dfrac{y\sqrt{y^2-1}}{x\sqrt{x^2-1}}.

Passo 4

Equação: x\operatorname{sen} y+y\cos x=1.
Vou usar regra do produto e regra da cadeia. Lembre que \dfrac{d}{dx}[\sin y]=\cos y\cdot y' porque y depende de x.
  1. Derivo o primeiro termo x\sin y pela regra do produto:
\dfrac{d}{dx}[x\sin y]=1\cdot\sin y + x\cdot(\cos y\cdot y')=\sin y + x\cos y\,y'.
  1. Derivo o segundo termo y\cos x: aqui também produto, mas observe que \cos x depende de x diretamente e y depende de x:
\dfrac{d}{dx}[y\cos x]=y'\cos x + y\cdot(-\sin x)=y'\cos x - y\sin x.
  1. Soma das derivadas deve ser igual à derivada do lado direito (derivada de 1 é 0):
\sin y + x\cos y\,y' + y'\cos x - y\sin x = 0.
  1. Agrupo os termos com y':
y'(x\cos y + \cos x) + \sin y - y\sin x = 0.
  1. Isolo y':
y'(x\cos y + \cos x)=y\sin x - \sin y,
portanto
y'=\dfrac{y\sin x - \sin y}{x\cos y + \cos x}.

Passo 5

Equação: \operatorname{sec}^{2} y+\operatorname{cotg}(x-y)=t_{1}. (Trato t_{1} como constante; sua derivada é 0.)
  1. Primeiro termo: \operatorname{sec}^{2} y é (\operatorname{sec} y)^2. Derivando com respeito a x, aplicar regra da cadeia:
  • derivada em relação a y de \operatorname{sec}^{2} y é 2\operatorname{sec} y\cdot(\operatorname{sec} y\tan y)=2\operatorname{sec}^{2}y\tan y;
  • como y=y(x), ao derivar em relação a x temos multiplicar por y'.
    Logo
\dfrac{d}{dx}[\operatorname{sec}^{2}y]=2\operatorname{sec}^{2}y\tan y\cdot y'.
(Outra forma de ver: \dfrac{d}{dy}(\operatorname{sec}^{2}y)=2\operatorname{sec}^{2}y\tan y, e depois aplicar \dfrac{dy}{dx}.)
  1. Segundo termo: \operatorname{cotg}(x-y) é \cot(x-y). Derivada de \cot u é -\csc^{2}u\cdot u'. Aqui u=x-y tem derivada u'=1-y'. Então
\dfrac{d}{dx}[\cot(x-y)]=-\csc^{2}(x-y)\cdot(1-y').
  1. Derivando a equação inteira e lembrando que \dfrac{d}{dx}[t_{1}]=0:
2\operatorname{sec}^{2}y\tan y\cdot y' - \csc^{2}(x-y)\,(1-y')=0.
  1. Distribuo o segundo termo:
2\operatorname{sec}^{2}y\tan y\cdot y' - \csc^{2}(x-y) + \csc^{2}(x-y)\,y' = 0.
  1. Agrupo os termos com y':
y'\bigl(2\operatorname{sec}^{2}y\tan y + \csc^{2}(x-y)\bigr) = \csc^{2}(x-y).
  1. Finalmente isolando y':
y'=\dfrac{\csc^{2}(x-y)}{2\operatorname{sec}^{2}y\tan y + \csc^{2}(x-y)}.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: fizemos diferenciação implícita em cada caso, aplicando regra da cadeia sempre que apareceu y, e produto quando necessário. Se algo ficou confuso, releia passo a passo e tente reproduzir cada derivada isoladamente (por exemplo, calcule somente a derivada de x\sin y antes de juntar tudo). Você consegue — respira fundo e pratica mais alguns exercícios parecidos que eu te explico depois!

Resposta

21)\;y'=\dfrac{|y|\sqrt{y^{2}-1}}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}
23)\;y'=\dfrac{y\sin x-\sin y}{x\cos y+\cos x}
25)\;y'=\dfrac{\csc^{2}(x-y)}{2\operatorname{sec}^{2}y\tan y+\csc^{2}(x-y)}

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