Seja: X : tempo de funcionamento (em horas) de um servidor principal e Y : tempo de funcionamento (em horas) de um firewall de proteção. A densidade conjunta é:
f(x, y)=\frac{x\left(1+3 y^{2}\right)}{4}, 0<x<2,0<y<1
  1. Calcule a média conjunta E[X Y].

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta e pede a média do produto X Y.
  • Densidade conjunta: f(x,y)=\dfrac{x\left(1+3y^{2}\right)}{4} para 0<x<2,\;0<y<1.
  • Domínio de integração: x\in(0,2) e y\in(0,1).
  • O que é pedido: calcular E[XY], a esperança do produto XY.

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (a parte teórica mastigada): para duas variáveis contínuas com densidade conjunta f(x,y), a esperança de uma função g(X,Y) é dada por uma integral dupla
E[g(X,Y)] = \iint g(x,y)\,f(x,y)\,dx\,dy.
Aqui g(x,y)=xy. Isso significa que devemos calcular a integral dupla de xy\,f(x,y) sobre o domínio dado.

Passo 3

Substituindo g(x,y)=xy e f(x,y)=\dfrac{x(1+3y^{2})}{4} na fórmula:
E[XY]=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{1} xy\cdot \frac{x(1+3y^{2})}{4}\,dy\,dx.
Agora simplificamos o integrando: xy\cdot x(1+3y^{2})/4 = \dfrac{x^{2}}{4}\,(y+3y^{3}).

Passo 4

Observação útil (quando é possível): o integrando ficou como produto de uma função só de x e outra só de y,
\frac{x^{2}}{4}\,(y+3y^{3})=\left(\frac{x^{2}}{4}\right)\cdot\left(y+3y^{3}\right),
portanto a integral dupla separa em produto de duas integrais simples:
E[XY]=\left(\int_{x=0}^{2}\frac{x^{2}}{4}\,dx\right)\cdot\left(\int_{y=0}^{1}(y+3y^{3})\,dy\right).
Essa separação é válida sempre que o integrando for produto de uma função de x por uma função de y.

Passo 5

Calcular a integral em y. Usamos a regra básica de potência: \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}.
\int_{0}^{1}(y+3y^{3})\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}+\frac{3y^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}.

Passo 6

Calcular a integral em x. Novamente usamos \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}:
\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Multiplicamos os resultados das duas integrais para obter E[XY]:
E[XY]=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}.
Se quiser em decimal: \frac{5}{6}\approx0{,}833333\ldots

Resposta

\dfrac{5}{6}

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