Seja:
: tempo de funcionamento (em horas) de um servidor principal e
: tempo de funcionamento (em horas) de um firewall de proteção. A densidade conjunta é:
- Calcule a média conjunta
.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade conjunta e pede a média do produto
.
- Densidade conjunta:
para . - Domínio de integração:
e . - O que é pedido: calcular
, a esperança do produto .
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (a parte teórica mastigada): para duas variáveis contínuas com densidade conjunta
, a esperança de uma função
é dada por uma integral dupla
Aqui
. Isso significa que devemos calcular a integral dupla de
sobre o domínio dado.
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula:
Agora simplificamos o integrando:
.
Passo 4
Observação útil (quando é possível): o integrando ficou como produto de uma função só de
e outra só de
,
portanto a integral dupla separa em produto de duas integrais simples:
Essa separação é válida sempre que o integrando for produto de uma função de
por uma função de
.
Passo 5
Calcular a integral em
. Usamos a regra básica de potência:
.
Passo 6
Calcular a integral em
. Novamente usamos
:
Passo 7
Multiplicamos os resultados das duas integrais para obter
:
Se quiser em decimal: