Nos exercícios 29-36, faça uma substituição apropriada e depois uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Devemos fazer uma substituição apropriada seguida de uma substituição trigonométrica (ou seja, usar uma substituição trigonométrica que torne a raiz em algo simples). Observação importante: a expressão
exige que se trabalhe com
(domínio onde a raiz é real); isso será usado ao tratar o sinal da função trigonométrica.
Passo 2
Escolhemos a substituição trigonométrica clássica para radicais do tipo
:
Por que essa escolha? Porque a identidade trigonométrica básica diz
então o radicando fica um quadrado perfeito. Além disso, com essa escolha temos o diferencial
Para poder inverter a substituição de forma única mais adiante, tomamos
no intervalo principal
, onde
cobre
e
.
Passo 3
Substituímos
e
na integral:
Usando
obtemos
Portanto a integral fica
Passo 4
Agora tratamos o valor absoluto. Como escolhemos
, tem-se
, logo
. Assim a integranda simplifica para
e a integral reduz-se a
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltamos à variável original
. Pela substituição
temos
(usando o ramo principal de
que retorna valores em
). Portanto
Confirmando rapidamente: derivando
obtém-se
o que bate com a integranda, portanto está correto.