Nos exercícios 29-36, faça uma substituição apropriada e depois uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.
\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}
Devemos fazer uma substituição apropriada seguida de uma substituição trigonométrica (ou seja, usar uma substituição trigonométrica que torne a raiz em algo simples). Observação importante: a expressão \sqrt{1-x^{2}} exige que se trabalhe com |x|<1 (domínio onde a raiz é real); isso será usado ao tratar o sinal da função trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos a substituição trigonométrica clássica para radicais do tipo 1-x^{2}:
x = \sin\theta.
Por que essa escolha? Porque a identidade trigonométrica básica diz
1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta,
então o radicando fica um quadrado perfeito. Além disso, com essa escolha temos o diferencial
d x = \cos\theta\, d\theta.
Para poder inverter a substituição de forma única mais adiante, tomamos \theta no intervalo principal \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), onde \sin\theta cobre (-1,1) e \cos\theta\ge0.

Passo 3

Substituímos x=\sin\theta e dx=\cos\theta\,d\theta na integral:
\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} = \int \frac{\cos\theta\, d\theta}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}.
Usando 1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta obtemos
\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{\cos^{2}\theta}=|\cos\theta|.
Portanto a integral fica
\int \frac{\cos\theta\, d\theta}{|\cos\theta|}.

Passo 4

Agora tratamos o valor absoluto. Como escolhemos \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), tem-se \cos\theta\ge0, logo |\cos\theta|=\cos\theta. Assim a integranda simplifica para
\frac{\cos\theta}{|\cos\theta|}=1,
e a integral reduz-se a
\int 1\, d\theta = \theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltamos à variável original x. Pela substituição x=\sin\theta temos \theta=\arcsin x (usando o ramo principal de \arcsin que retorna valores em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr)). Portanto
\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x + C.
Confirmando rapidamente: derivando \arcsin x obtém-se
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},
o que bate com a integranda, portanto está correto.

Resposta

\arcsin x + C

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