Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int \frac{8 d x}{\left(4 x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{8\,dx}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é racional, com denominador \left(4x^{2}+1\right)^{2}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando.

Passo 2

Primeira simplificação: faça a substituição linear u=2x. Isso deixa a expressão mais simples porque 4x^{2}+1=u^{2}+1.
Calcule du em função de dx:
u=2x\quad\Rightarrow\quad du=2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Substituindo na integral:
\int \frac{8\,dx}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}} = \int \frac{8\cdot \frac{du}{2}}{(u^{2}+1)^{2}} =4\int \frac{du}{(u^{2}+1)^{2}}.
Portanto reduzimos o problema para calcular \displaystyle 4\int \dfrac{du}{(u^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Use uma substituição trigonométrica clássica para \displaystyle \int \dfrac{du}{(u^{2}+1)^{2}}: tome u=\tan t. Justificativa: 1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t, o que simplifica muito o denominador.
Então
u=\tan t\quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Substituindo:
\int \frac{du}{(u^{2}+1)^{2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}t\,dt}{(\operatorname{sec}^{2}t)^{2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}t\,dt}{\operatorname{sec}^{4}t} = \int \cos^{2}t\,dt.
Portanto a integral interna ficou \displaystyle \int \cos^{2}t\,dt.

Passo 4

Integre \cos^{2}t usando a identidade de redução:
\cos^{2}t=\frac{1+\cos(2t)}{2}.
Assim
\int \cos^{2}t\,dt = \int \frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int dt + \frac{1}{2}\int \cos(2t)\,dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} + C.
Lembre-se que até aqui essa é a primitiva em função de t. Não esqueça do fator 4 que ficou fora (veja o final do Passo 2).

Passo 5

Multiplique pelo fator 4 que ficou fora:
4\int \frac{du}{(u^{2}+1)^{2}} = 4\left(\frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4}\right) + C = 2t + \sin(2t) + C.

Passo 6

Volte das substituições para a variável original. Temos u=\tan t, logo t=\arctan u. Além disso,
\sin(2t)=2\sin t\cos t.
Com u=\tan t obtemos \sin t=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^{2}}} e \cos t=\dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}, então
\sin(2t)=2\cdot\frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}=\frac{2u}{1+u^{2}}.
Substituindo em 2t+\sin(2t):
2t+\sin(2t)=2\arctan u + \frac{2u}{1+u^{2}} + C.

Passo 7

Finalmente volte para x usando u=2x:
2\arctan u + \frac{2u}{1+u^{2}} + C = 2\arctan(2x) + \frac{2(2x)}{1+(2x)^{2}} + C = 2\arctan(2x) + \frac{4x}{1+4x^{2}} + C.
Opcional (verificação): derivando
\frac{d}{dx}\!\left(2\arctan(2x) + \frac{4x}{1+4x^{2}}\right) = \frac{4}{1+4x^{2}} + \frac{4-16x^{2}}{(1+4x^{2})^{2}} = \frac{8}{(1+4x^{2})^{2}},
que é exatamente o integrando original \dfrac{8}{(4x^{2}+1)^{2}}. Logo a primitiva está correta.

Resposta

2\arctan(2x)+\dfrac{4x}{1+4x^{2}}+C

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