Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é racional, com denominador
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando.
Passo 2
Primeira simplificação: faça a substituição linear
. Isso deixa a expressão mais simples porque
.
Calcule em função de
:
Calcule
Substituindo na integral:
Portanto reduzimos o problema para calcular
.
Passo 3
Use uma substituição trigonométrica clássica para
: tome
. Justificativa:
, o que simplifica muito o denominador.
Então
Então
Substituindo:
Portanto a integral interna ficou
.
Passo 4
Integre
usando a identidade de redução:
Assim
Lembre-se que até aqui essa é a primitiva em função de
. Não esqueça do fator
que ficou fora (veja o final do Passo 2).
Passo 5
Multiplique pelo fator
que ficou fora:
Passo 6
Volte das substituições para a variável original. Temos
, logo
. Além disso,
Com
obtemos
e
, então
Substituindo em
:
Passo 7
Finalmente volte para
usando
:
Opcional (verificação): derivando
que é exatamente o integrando original
. Logo a primitiva está correta.