Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int \frac{x^{2} d x}{\left(x^{2}-1\right)^{5 / 2}}, x>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}\,dx}{\left(x^{2}-1\right)^{5/2}},\qquad x>1.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é \dfrac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{5/2}}.
  • O domínio é \,x>1, o que garante que expressões como \sqrt{x^{2}-1} são bem definidas e positivas.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece uma expressão do tipo \,x^{2}-1 sob raiz ou elevada a potências fracionárias, uma substituição trigonométrica costuma simplificar muito. A substituição clássica para termos x^{2}-1 é
x=\operatorname{sec}\theta,
porque então
x^{2}-1=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta,
e potências de \tan\theta aparecem de forma simples. Como \,x>1, escolhemos \theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) (isso garante \operatorname{sec}\theta>1 e \sin\theta,\cos\theta>0). Vamos aplicar essa substituição e transformar a integral.

Passo 3

Calculemos as quantidades necessárias da substituição:
x=\operatorname{sec}\theta,\qquad dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Além disso,
x^{2}=\operatorname{sec}^{2}\theta,\qquad x^{2}-1=\tan^{2}\theta,\qquad (x^{2}-1)^{5/2}=\tan^{5}\theta.
Substituindo tudo na integral:
\int \frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}-1)^{5/2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\cdot \bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr)}{\tan^{5}\theta} = \int \frac{\operatorname{sec}^{3}\theta\,\tan\theta}{\tan^{5}\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{\tan^{4}\theta}\,d\theta.

Passo 4

Simplificamos a expressão usando \operatorname{sec}\theta=1/\cos\theta e \tan\theta=\sin\theta/\cos\theta:
\frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{\tan^{4}\theta} = \frac{1/\cos^{3}\theta}{(\sin^{4}\theta/\cos^{4}\theta)} = \frac{\cos\theta}{\sin^{4}\theta}.
Portanto a integral virou uma integral simples em \theta:
\int \frac{\cos\theta}{\sin^{4}\theta}\,d\theta = \int \cos\theta\;\sin^{-4}\theta\,d\theta.

Passo 5

Fazemos a substituição u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. A integral passa a ser
\int u^{-4}\,du.
Integral de potência: para u^{n} com n\neq -1, \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=-4, logo
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3}+C = -\frac{1}{3}u^{-3}+C.
Voltando a \theta:
-\frac{1}{3}\sin^{-3}\theta + C = -\frac{1}{3\,\sin^{3}\theta}+C.

Passo 6

Agora precisamos voltar para a variável x. Lembrando que fizemos x=\operatorname{sec}\theta, então \cos\theta=\dfrac{1}{x}. Como \theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) (porque x>1), temos \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}. Calculamos:
\sin\theta=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Elevar ao cubo:
\sin^{3}\theta=\frac{(x^{2}-1)^{3/2}}{x^{3}}.
Substituindo em -\dfrac{1}{3\sin^{3}\theta}:
-\frac{1}{3\sin^{3}\theta} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{(x^{2}-1)^{3/2}} = -\frac{x^{3}}{3\,(x^{2}-1)^{3/2}}.
Portanto uma primitiva da função dada é
-\frac{x^{3}}{3\,(x^{2}-1)^{3/2}} + C.

Passo 7

Cheque rápido (verificação por derivação): seja
F(x)=-\frac{x^{3}}{3}(x^{2}-1)^{-3/2}.
Derivando (produto/chain rule) obtém-se depois de simplificar
F'(x)=\frac{x^{2}}{(x^{2}-1)^{5/2}},
que é exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{x^{3}}{3\,(x^{2}-1)^{3/2}}+C

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