Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A integranda é
. - O domínio é
, o que garante que expressões como são bem definidas e positivas. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece uma expressão do tipo
sob raiz ou elevada a potências fracionárias, uma substituição trigonométrica costuma simplificar muito. A substituição clássica para termos
é
porque então
e potências de
aparecem de forma simples. Como
, escolhemos
(isso garante
e
). Vamos aplicar essa substituição e transformar a integral.
Passo 3
Calculemos as quantidades necessárias da substituição:
Além disso,
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Simplificamos a expressão usando
e
:
Portanto a integral virou uma integral simples em
:
Passo 5
Fazemos a substituição
. Então
. A integral passa a ser
Integral de potência: para
com
,
. Aqui
, logo
Voltando a
:
Passo 6
Agora precisamos voltar para a variável
. Lembrando que fizemos
, então
. Como
(porque
), temos
. Calculamos:
Elevar ao cubo:
Substituindo em
:
Portanto uma primitiva da função dada é
Passo 7
Cheque rápido (verificação por derivação): seja
Derivando (produto/chain rule) obtém-se depois de simplificar
que é exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.