Seja uma hipérbole com equação geral dada por:
9 x^{2}-16 y^{2}-36 x-32 y-124=0
Determine sua equação na forma reduzida e identifique seu centro, seus focos e suas assíntotas.

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole de equação geral
9x^{2}-16y^{2}-36x-32y-124=0
e pede a forma reduzida, o centro, os focos e as assíntotas. Vamos trabalhar com agrupamento em x e y e completar quadrados para chegar à forma canônica de uma hipérbole.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e isolando a constante, temos
9(x^{2}-4x)\;-16(y^{2}+2y)\;-124=0.
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4, \quad y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituindo de volta na equação original:
9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)\;-16\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)\;-124=0.

Passo 3

Distribuindo os fatores e reunindo termos livres:
9(x-2)^{2}-36 \;-\;16(y+1)^{2}+16\;-124=0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x-2)^{2}-16(y+1)^{2}-144=0.
Isolando o termo constante para o outro lado e dividindo por 144:
9(x-2)^{2}-16(y+1)^{2}=144 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1.
Esta é a forma reduzida (canônica) da hipérbole.

Passo 4

Da forma
\frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1
vemos que:
\bullet O centro é (h,k)=(2,-1).
\bullet a^{2}=16, logo a=4.
\bullet b^{2}=9, logo b=3.

Passo 5

Para hipérbole horizontal, a distância focal satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25,
logo c=5. Os focos, partindo do centro para a direita e esquerda, são
F_{1}=(h+c,\;k)=(2+5,\,-1)=(7,-1), \quad F_{2}=(h-c,\;k)=(2-5,\,-1)=(-3,-1).

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole horizontal com centro (h,k) são dadas por
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Substituindo os valores, obtemos
y+1=\pm\frac{3}{4}(x-2).
Podemos escrevê-las na forma y=\dots:
y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}, \quad y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}.

Resposta

A forma reduzida é
\frac{(x-2)^{2}}{16}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1.
Centro: (2,-1)
Focos: (7,-1) e (-3,-1)
Assíntotas:
y+1=\frac{3}{4}(x-2) \quad\text{e}\quad y+1=-\frac{3}{4}(x-2).

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