Seja uma hipérbole com equação geral dada por:
Determine sua equação na forma reduzida e identifique seu centro, seus focos e suas assíntotas.
Passo 1
O enunciado nos dá a hipérbole de equação geral
e pede a forma reduzida, o centro, os focos e as assíntotas. Vamos trabalhar com agrupamento em
e
e completar quadrados para chegar à forma canônica de uma hipérbole.
Passo 2
Agrupando termos em
e em
e isolando a constante, temos
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
Substituindo de volta na equação original:
Passo 3
Distribuindo os fatores e reunindo termos livres:
Isolando o termo constante para o outro lado e dividindo por
:
Esta é a forma reduzida (canônica) da hipérbole.
Passo 4
Da forma
vemos que:
O centro é
.
, logo
.
, logo
.
Passo 5
Para hipérbole horizontal, a distância focal satisfaz
logo
. Os focos, partindo do centro para a direita e esquerda, são
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole horizontal com centro
são dadas por
Substituindo os valores, obtemos
Podemos escrevê-las na forma
:
Resposta
A forma reduzida é
Centro:
Focos: e
Assíntotas:
Focos:
Assíntotas: