Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva no espaço por uma função vetorial e pede a reta tangente no ponto correspondente a
. Dados fornecidos:
- A função vetorial é
. - O ponto onde queremos a reta tangente corresponde a
.
O que é pedido: encontrar uma parametrização da reta tangente à curva no ponto gerado por
.
Passo 2
Entender o que significa “reta tangente” aqui: para uma curva dada por
, a reta tangente no ponto
é a reta que passa por esse ponto e tem direção dada por
, onde
é a derivada da função vetorial. Em palavras simples: pega-se o ponto na curva e o vetor velocidade naquele instante; a reta tangente é a linha que passa pelo ponto e aponta na direção desse vetor velocidade.
Passo 3
Como calcular
: derivamos componente a componente. Se
, então
Aplicando isso às componentes dadas:
-
então . -
então . -
então .
Portanto
Passo 4
Calcular o ponto da curva em
, ou seja
. Fazendo as contas componente a componente:
-
. -
. -
.
Logo
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter o vetor direção da reta tangente:
Confere se o vetor não é o vetor nulo (não é), então pode ser usado como direção da reta.
Passo 6
Escrever a parametrização da reta tangente. A forma padrão é
onde
é o parâmetro da reta (pode ser qualquer letra). Substituindo os valores:
Expandindo em componentes, uma forma equivalente é
Observação útil para a prova: também é comum reparametrizar usando o próprio
original, escrevendo
mas atenção para não confundir os dois usos de
(um é o parâmetro da curva, outro o parâmetro da reta); por isso eu prefiro usar
para a reta.
Resposta
ou, equivalentemente,