Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
\mathbf{r}(t)=\left\langle 1-t^{2}, 5 t, 2 t^{3}\right\rangle, \quad t=2

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva no espaço por uma função vetorial e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=2. Dados fornecidos:
  • A função vetorial é \mathbf{r}(t)=\left\langle 1-t^{2},\;5t,\;2t^{3}\right\rangle.
  • O ponto onde queremos a reta tangente corresponde a t=2.
O que é pedido: encontrar uma parametrização da reta tangente à curva no ponto gerado por t=2.

Passo 2

Entender o que significa “reta tangente” aqui: para uma curva dada por \mathbf{r}(t), a reta tangente no ponto \mathbf{r}(t_0) é a reta que passa por esse ponto e tem direção dada por \mathbf{r}'(t_0), onde \mathbf{r}'(t) é a derivada da função vetorial. Em palavras simples: pega-se o ponto na curva e o vetor velocidade naquele instante; a reta tangente é a linha que passa pelo ponto e aponta na direção desse vetor velocidade.

Passo 3

Como calcular \mathbf{r}'(t): derivamos componente a componente. Se \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle, então
\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle.
Aplicando isso às componentes dadas:
  • x(t)=1-t^{2} então x'(t)=\dfrac{d}{dt}(1-t^{2})=-2t.
  • y(t)=5t então y'(t)=\dfrac{d}{dt}(5t)=5.
  • z(t)=2t^{3} então z'(t)=\dfrac{d}{dt}(2t^{3})=6t^{2}.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\left\langle -2t,\;5,\;6t^{2}\right\rangle.

Passo 4

Calcular o ponto da curva em t=2, ou seja \mathbf{r}(2). Fazendo as contas componente a componente:
  • x(2)=1-(2)^{2}=1-4=-3.
  • y(2)=5\cdot 2=10.
  • z(2)=2\cdot(2)^{3}=2\cdot8=16.
Logo
\mathbf{r}(2)=\left\langle -3,\;10,\;16\right\rangle.

Passo 5

Avaliar a derivada em t=2 para obter o vetor direção da reta tangente:
  • \mathbf{r}'(2)=\left\langle -2\cdot 2,\;5,\;6\cdot(2)^{2}\right\rangle=\left\langle -4,\;5,\;24\right\rangle.
Confere se o vetor não é o vetor nulo (não é), então pode ser usado como direção da reta.

Passo 6

Escrever a parametrização da reta tangente. A forma padrão é
\text{reta}: \; \mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(2)+s\,\mathbf{r}'(2),
onde s é o parâmetro da reta (pode ser qualquer letra). Substituindo os valores:
\mathbf{L}(s)=\left\langle -3,\;10,\;16\right\rangle + s\left\langle -4,\;5,\;24\right\rangle.
Expandindo em componentes, uma forma equivalente é
\mathbf{L}(s)=\left\langle -3-4s,\;10+5s,\;16+24s\right\rangle.
Observação útil para a prova: também é comum reparametrizar usando o próprio t original, escrevendo
\mathbf{L}(t)=\mathbf{r}(2)+(t-2)\mathbf{r}'(2)=\left\langle -3-4(t-2),\;10+5(t-2),\;16+24(t-2)\right\rangle,
mas atenção para não confundir os dois usos de t (um é o parâmetro da curva, outro o parâmetro da reta); por isso eu prefiro usar s para a reta.

Resposta

\mathbf{L}(s)=\left\langle -3,\;10,\;16\right\rangle + s\left\langle -4,\;5,\;24\right\rangle
ou, equivalentemente,
\mathbf{L}(s)=\left\langle -3-4s,\;10+5s,\;16+24s\right\rangle

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