Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
\mathbf{r}(s)=4 s^{-1} \mathbf{i}-8 s^{-3} \mathbf{k}, \quad s=2

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(s)=4 s^{-1}\mathbf{i}+0\mathbf{j}-8 s^{-3}\mathbf{k}
e pede: encontrar uma parametrização da reta tangente à curva no ponto correspondente a s=2.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A curva em coordenadas componentes pode ser escrita como \mathbf{r}(s)=\langle 4s^{-1},\,0,\,-8s^{-3}\rangle.
  • O ponto onde queremos a tangente é o que corresponde a s=2.
  • O que se pede é a parametrização da reta tangente (uma reta que passa pelo ponto \mathbf{r}(2) e tem direção dada pelo vetor tangente naquele ponto).

Passo 2

Entendendo por que usamos a derivada: para uma curva dada por \mathbf{r}(s), o vetor derivada \mathbf{r}'(s) indica a direção (e sentido) em que a curva se move quando s varia — é o vetor tangente à curva. Portanto, a reta tangente em s=2 passa por \mathbf{r}(2) e tem vetor direção \mathbf{r}'(2). Agora vamos calcular \mathbf{r}'(s) componente a componente.
Regra de derivação usada (explicada de forma simples): para um monômio s^{-n} vale
\frac{d}{ds}\bigl(s^{-n}\bigr)=-n s^{-n-1}.
Aplicando isso às componentes:
\mathbf{r}(s)=\bigl\langle 4s^{-1},\;0,\;-8s^{-3}\bigr\rangle.
Derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(s)=\left\langle \frac{d}{ds}\bigl(4s^{-1}\bigr),\;0,\;\frac{d}{ds}\bigl(-8s^{-3}\bigr)\right\rangle.
Calcule cada derivada:
\frac{d}{ds}\bigl(4s^{-1}\bigr)=4\cdot\frac{d}{ds}\bigl(s^{-1}\bigr)=4\cdot(-1)s^{-2}=-4s^{-2},
\frac{d}{ds}\bigl(-8s^{-3}\bigr)=-8\cdot\frac{d}{ds}\bigl(s^{-3}\bigr)=-8\cdot(-3)s^{-4}=24s^{-4}.
Portanto
\mathbf{r}'(s)=\langle -4s^{-2},\;0,\;24s^{-4}\rangle.

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}(s) e \mathbf{r}'(s) em s=2.
Calcule \mathbf{r}(2):
\mathbf{r}(2)=\bigl\langle 4\cdot 2^{-1},\;0,\;-8\cdot 2^{-3}\bigr\rangle =\langle 2,\;0,\;-1\rangle.
Calcule \mathbf{r}'(2):
\mathbf{r}'(2)=\bigl\langle -4\cdot 2^{-2},\;0,\;24\cdot 2^{-4}\bigr\rangle =\left\langle -\frac{4}{4},\;0,\;\frac{24}{16}\right\rangle =\left\langle -1,\;0,\;\tfrac{3}{2}\right\rangle.
Então o vetor posição do ponto é \langle 2,0,-1\rangle e o vetor direção da tangente é \langle -1,0,\tfrac{3}{2}\rangle.

Passo 4

Construir a parametrização da reta tangente: uma reta que passa por um ponto \mathbf{p} e tem vetor direção \mathbf{v} pode ser escrita como
\ell(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v},
onde t é o parâmetro da reta.
Usando \mathbf{p}=\mathbf{r}(2)=\langle 2,0,-1\rangle e \mathbf{v}=\mathbf{r}'(2)=\langle -1,0,\tfrac{3}{2}\rangle, uma parametrização conveniente é
\ell(t)=\langle 2,0,-1\rangle + t\left\langle -1,0,\tfrac{3}{2}\right\rangle.
Podemos também multiplicar o vetor direção por qualquer escalar não nulo para eliminar frações. Por exemplo, multiplicando a direção por 2 (e trocando o parâmetro) obtemos a forma equivalente
\ell(u)=\langle 2,0,-1\rangle + u\langle -2,0,3\rangle,
onde u= t.
Ambas descrevem a mesma reta tangente; é só escolha de conveniência qual usar.

Resposta

\ell(t)=\langle 2,0,-1\rangle + t\left\langle -1,0,\tfrac{3}{2}\right\rangle
\ell(u)=\langle 2,0,-1\rangle + u\langle -2,0,3\rangle

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