Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede: encontrar uma parametrização da reta tangente à curva no ponto correspondente a
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A curva em coordenadas componentes pode ser escrita como
. - O ponto onde queremos a tangente é o que corresponde a
. - O que se pede é a parametrização da reta tangente (uma reta que passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor tangente naquele ponto).
Passo 2
Entendendo por que usamos a derivada: para uma curva dada por
, o vetor derivada
indica a direção (e sentido) em que a curva se move quando
varia — é o vetor tangente à curva. Portanto, a reta tangente em
passa por
e tem vetor direção
. Agora vamos calcular
componente a componente.
Regra de derivação usada (explicada de forma simples): para um monômio
vale
Aplicando isso às componentes:
Derivando componente a componente,
Calcule cada derivada:
Portanto
Passo 3
Avaliar
e
em
.
Calcule
:
Calcule
:
Então o vetor posição do ponto é
e o vetor direção da tangente é
.
Passo 4
Construir a parametrização da reta tangente: uma reta que passa por um ponto
e tem vetor direção
pode ser escrita como
onde
é o parâmetro da reta.
Usando
e
, uma parametrização conveniente é
Podemos também multiplicar o vetor direção por qualquer escalar não nulo para eliminar frações. Por exemplo, multiplicando a direção por
(e trocando o parâmetro) obtemos a forma equivalente
onde
.
Ambas descrevem a mesma reta tangente; é só escolha de conveniência qual usar.