Seja \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, 1-t, 4 t\right\rangle. Calcule a derivada de \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{a}(t) em t=2 supondo que \mathbf{a}(2)=\langle 1,3,3\rangle e \mathbf{a}^{\prime}(2)=\langle-1,4,1\rangle.
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetor \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2},\,1-t,\,4t\right\rangle e pede para calcular a derivada de \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t) no ponto t=2. As informações adicionais fornecidas são:
\mathbf{a}(2)=\langle 1,3,3\rangle.
\mathbf{a}^{\prime}(2)=\langle-1,4,1\rangle.
O que precisamos encontrar para aplicar a regra do produto escalar:
\mathbf{r}(2).
\mathbf{r}^{\prime}(2).
Em seguida usar esses vetores junto com \mathbf{a}(2) e \mathbf{a}^{\prime}(2) para obter \dfrac{d}{dt}\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t)\big) em t=2.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada): se \mathbf{u}(t) e \mathbf{v}(t) são vetores cujas componentes são funções diferenciáveis, então o produto escalar \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t) é uma função escalar e sua derivada é dada por
Por que isso vale? Escrevendo por componentes \mathbf{u}(t)=\langle u_1(t),u_2(t),u_3(t)\rangle e \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),v_2(t),v_3(t)\rangle, tem-se
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e aplicando a regra da derivada da soma e do produto de funções escalares:
que é exatamente \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'. Portanto podemos aplicar essa fórmula com \mathbf{u}=\mathbf{r} e \mathbf{v}=\mathbf{a}.
Passo 3
Calcular \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente:
Bom trabalho! Dá para ver que a maior parte é só organizar as informações, calcular \mathbf{r}(2) e \mathbf{r}'(2) e aplicar a regra do produto escalar.