Seja \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, 1-t, 4 t\right\rangle. Calcule a derivada de \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{a}(t) em t=2 supondo que \mathbf{a}(2)=\langle 1,3,3\rangle e \mathbf{a}^{\prime}(2)=\langle-1,4,1\rangle.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2},\,1-t,\,4t\right\rangle e pede para calcular a derivada de \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t) no ponto t=2. As informações adicionais fornecidas são:
  • \mathbf{a}(2)=\langle 1,3,3\rangle.
  • \mathbf{a}^{\prime}(2)=\langle-1,4,1\rangle.
O que precisamos encontrar para aplicar a regra do produto escalar:
  • \mathbf{r}(2).
  • \mathbf{r}^{\prime}(2).
  • Em seguida usar esses vetores junto com \mathbf{a}(2) e \mathbf{a}^{\prime}(2) para obter \dfrac{d}{dt}\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t)\big) em t=2.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada): se \mathbf{u}(t) e \mathbf{v}(t) são vetores cujas componentes são funções diferenciáveis, então o produto escalar \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t) é uma função escalar e sua derivada é dada por
\frac{d}{dt}\big(\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)\big)=\mathbf{u}^{\prime}(t)\cdot\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}^{\prime}(t).
Por que isso vale? Escrevendo por componentes \mathbf{u}(t)=\langle u_1(t),u_2(t),u_3(t)\rangle e \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),v_2(t),v_3(t)\rangle, tem-se
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e aplicando a regra da derivada da soma e do produto de funções escalares:
\frac{d}{dt}(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)=u_1'v_1+u_1v_1'+u_2'v_2+u_2v_2'+u_3'v_3+u_3v_3',
que é exatamente \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'. Portanto podemos aplicar essa fórmula com \mathbf{u}=\mathbf{r} e \mathbf{v}=\mathbf{a}.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente:
\mathbf{r}(t)=\langle t^{2},\,1-t,\,4t\rangle
\mathbf{r}^{\prime}(t)=\langle 2t,\, -1,\, 4\rangle.
Agora avalio em t=2:
\mathbf{r}(2)=\langle 2^{2},\,1-2,\,4\cdot 2\rangle=\langle 4,\,-1,\,8\rangle,
\mathbf{r}^{\prime}(2)=\langle 2\cdot 2,\, -1,\, 4\rangle=\langle 4,\,-1,\,4\rangle.

Passo 4

Aplicar a regra do produto escalar no ponto t=2:
\left.\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t)\big)\right|_{t=2} =\mathbf{r}^{\prime}(2)\cdot\mathbf{a}(2)+\mathbf{r}(2)\cdot\mathbf{a}^{\prime}(2).
Calculo os dois produtos escalares separadamente (fazendo a multiplicação componente a componente e somando):
\mathbf{r}^{\prime}(2)\cdot\mathbf{a}(2) =\langle 4,-1,4\rangle\cdot\langle 1,3,3\rangle =4\cdot 1+(-1)\cdot 3+4\cdot 3=4-3+12=13.
\mathbf{r}(2)\cdot\mathbf{a}^{\prime}(2) =\langle 4,-1,8\rangle\cdot\langle -1,4,1\rangle =4\cdot(-1)+(-1)\cdot 4+8\cdot 1=-4-4+8=0.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\left.\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t)\big)\right|_{t=2}=13+0=13.
Bom trabalho! Dá para ver que a maior parte é só organizar as informações, calcular \mathbf{r}(2) e \mathbf{r}'(2) e aplicar a regra do produto escalar.

Resposta

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