Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede uma parametrização da reta tangente no ponto correspondente a
.
Informações fornecidas e o que precisa ser entregue:
- Funções componentes:
e . - Ponto indicado na curva: o ponto associado a
. - Pedido: uma parametrização (vetorial) da reta tangente à curva em
.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para uma curva paramétrica
, o vetor tangente em
é a derivada
. Deriva-se componente a componente, isto é, se
então
A reta tangente pode ser escrita numa forma vetorial usando o ponto
e o vetor direção
:
onde
é um parâmetro real novo que faz
. Essa forma garante que a reta passa pelo ponto pedido e tem a direção correta.
Passo 3
Vamos calcular a derivada vetorial da curva, componente a componente:
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Passo 4
Avaliar no ponto
:
Calculando a posição do ponto:
Calculando o vetor tangente:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da reta tangente com parâmetro
:
Efetuando a soma componente a componente:
Explicação do que isso significa: para
obtém-se exatamente o ponto
; ao variar
a posição se desloca na direção
, que é precisamente o vetor tangente da curva em
.
Passo 6
Forma alternativa (mesma reta, outro parâmetro). Se preferir usar um parâmetro que coincida com o parâmetro original deslocado, pode-se tomar
e escrever
que, simplificando, dá
Essas duas expressões são equivalentes: ambas representam a mesma reta tangente e em ambas o ponto para o parâmetro que corresponde a
é
.
Passo 7
Verificação rápida: derivando
em relação a
obtém-se
, que coincide com
. Assim a parametrização está correta. Bom trabalho — a ideia central é sempre: calcule
e
e forme
.