Nos Exercícios 33-37, encontre uma parametrização da reta tangente no ponto indicado.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, t^{4}\right\rangle, \quad t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\langle t^{2},\,t^{4}\rangle
e pede uma parametrização da reta tangente no ponto correspondente a t=1.
Informações fornecidas e o que precisa ser entregue:
  • Funções componentes: x(t)=t^{2} e y(t)=t^{4}.
  • Ponto indicado na curva: o ponto associado a t=1.
  • Pedido: uma parametrização (vetorial) da reta tangente à curva em t=1.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para uma curva paramétrica \mathbf{r}(t), o vetor tangente em t=t_{0} é a derivada \mathbf{r}'(t_{0}). Deriva-se componente a componente, isto é, se \mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle então
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{dx}{dt},\,\frac{dy}{dt}\right\rangle.
A reta tangente pode ser escrita numa forma vetorial usando o ponto \mathbf{r}(t_{0}) e o vetor direção \mathbf{r}'(t_{0}):
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0}),
onde s é um parâmetro real novo que faz \mathbf{L}(0)=\mathbf{r}(t_{0}). Essa forma garante que a reta passa pelo ponto pedido e tem a direção correta.

Passo 3

Vamos calcular a derivada vetorial da curva, componente a componente:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}\bigr)=4t^{3}.
Logo
\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\,4t^{3}\rangle.

Passo 4

Avaliar no ponto t=1:
Calculando a posição do ponto:
\mathbf{r}(1)=\langle 1^{2},\,1^{4}\rangle=\langle 1,\,1\rangle.
Calculando o vetor tangente:
\mathbf{r}'(1)=\langle 2\cdot1,\,4\cdot1^{3}\rangle=\langle 2,\,4\rangle.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da reta tangente com parâmetro s:
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(1)+s\,\mathbf{r}'(1)=\langle 1,\,1\rangle + s\langle 2,\,4\rangle.
Efetuando a soma componente a componente:
\mathbf{L}(s)=\langle 1+2s,\,1+4s\rangle.
Explicação do que isso significa: para s=0 obtém-se exatamente o ponto \langle 1,1\rangle; ao variar s a posição se desloca na direção \langle 2,4\rangle, que é precisamente o vetor tangente da curva em t=1.

Passo 6

Forma alternativa (mesma reta, outro parâmetro). Se preferir usar um parâmetro que coincida com o parâmetro original deslocado, pode-se tomar \tau e escrever
\mathbf{L}(\tau)=\langle 1+2(\tau-1),\,1+4(\tau-1)\rangle,
que, simplificando, dá
\mathbf{L}(\tau)=\langle 2\tau-1,\,4\tau-3\rangle.
Essas duas expressões são equivalentes: ambas representam a mesma reta tangente e em ambas o ponto para o parâmetro que corresponde a t=1 é \langle 1,1\rangle.

Passo 7

Verificação rápida: derivando \mathbf{L}(s) em relação a s obtém-se \langle 2,4\rangle, que coincide com \mathbf{r}'(1). Assim a parametrização está correta. Bom trabalho — a ideia central é sempre: calcule \mathbf{r}(t_{0}) e \mathbf{r}'(t_{0}) e forme \mathbf{r}(t_{0})+s\mathbf{r}'(t_{0}).

Resposta

\mathbf{L}(s)=\langle 1+2s,\,1+4s\rangle
\mathbf{L}(\tau)=\langle 2\tau-1,\,4\tau-3\rangle

Exercícios relacionados