Seja
. Mostre que
é constante e conclua, usando o Exemplo 6, que
e
são ortogonais. Em seguida, calcule
e verifique que é ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetor
e pede duas coisas:
- Mostrar que
é constante. - Concluir, usando o Exemplo 6, que
e são ortogonais; em seguida calcular e verificar explicitamente essa ortogonalidade.
As informações relevantes dadas são as três componentes de
. Nada mais é fornecido; é necessário usar identidades trigonométricas básicas e regras de derivação (regra do produto e regra da cadeia).
Passo 2
Primeiro lembro como calcular norma e produto escalar de um vetor em
.
A norma (comprimento) de um vetor
é
O produto escalar de
e
é
Observação útil:
.
Agora aplico isso a
. Calculo
(é mais simples calcular o quadrado da norma e depois extrair a raiz, se necessário):
Passo 3
Simplifico a expressão usando
. Factorizo
nas duas primeiras parcelas:
Como
, fica
E finalmente, usando
com
,
Portanto
que é uma constante (independe de
). Conclusão: o comprimento de
é sempre
.
Breve explicação didática: mostrar que a norma é constante significa mostrar que o comprimento do vetor não varia com
. Ao mostrar
, já temos isso.
Passo 4
Agora uso o argumento padrão (o que é provavelmente o conteúdo do Exemplo 6 mencionado): se
é constante então
e
são ortogonais. Vou demonstrar isso passo a passo.
Seja
. Como vimos
para todo
, temos
. Por outro lado, aplicando a regra da derivada ao produto escalar (produto escalar satisfaz a regra do produto):
Como
, obtemos
Isto significa que
e
são ortogonais para todo
. Esse é o conteúdo do Exemplo 6: norma constante ⇒ vetor e sua derivada são perpendiculares.
Passo 5
Agora calculo explicitamente
componente a componente. Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Lembro:
e
.
Primeira componente
. Pela regra do produto:
Segunda componente
. Pela regra do produto:
Terceira componente
. Pela regra da cadeia:
Portanto
Passo 6
Verifico explicitamente que
usando as expressões. Faço o produto escalar e simplifico atentando para cancelamentos:
Calculo
Distribuindo e reagruppando termos pareados:
Observe que os termos com
se cancelam (um é negativo e o outro positivo). Também os dois termos que envolvem
podem ser combinados:
Mas
, então isso é
Portanto
, verificando explicitamente a ortogonalidade.
Passo 7
Resumo do raciocínio: primeiro mostrei que
constante usando identidades trigonométricas; pelo argumento geral sobre derivada do produto escalar (Exemplo 6) isso implica
; depois calculei
com regra do produto e verifiquei algebricamente que o produto escalar é zero.