Seja \mathbf{r}(t)=\langle\operatorname{sen} 2 t \cos t, \operatorname{sen} 2 t \operatorname{sen} t, \cos 2 t\rangle. Mostre que \|\mathbf{r}(t)\| é constante e conclua, usando o Exemplo 6, que \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}^{\prime}(t) são ortogonais. Em seguida, calcule \mathbf{r}^{\prime}(t) e verifique que é ortogonal a \mathbf{r}(t).

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
\mathbf{r}(t)=\langle \operatorname{sen}2t\cos t,\;\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t,\;\cos2t\rangle
e pede duas coisas:
  • Mostrar que \|\mathbf{r}(t)\| é constante.
  • Concluir, usando o Exemplo 6, que \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) são ortogonais; em seguida calcular \mathbf{r}'(t) e verificar explicitamente essa ortogonalidade.
As informações relevantes dadas são as três componentes de \mathbf{r}(t). Nada mais é fornecido; é necessário usar identidades trigonométricas básicas e regras de derivação (regra do produto e regra da cadeia).

Passo 2

Primeiro lembro como calcular norma e produto escalar de um vetor em \mathbb{R}^3.
A norma (comprimento) de um vetor \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
O produto escalar de \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{v} é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Observação útil: \|\mathbf{v}\|^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
Agora aplico isso a \mathbf{r}(t). Calculo \|\mathbf{r}(t)\|^2 (é mais simples calcular o quadrado da norma e depois extrair a raiz, se necessário):
\|\mathbf{r}(t)\|^2=(\operatorname{sen}2t\cos t)^2+(\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t)^2+(\cos2t)^2.

Passo 3

Simplifico a expressão usando \cos^2 t+\sin^2 t=1. Factorizo \operatorname{sen}^2 2t nas duas primeiras parcelas:
\|\mathbf{r}(t)\|^2=\operatorname{sen}^2 2t\big(\cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t\big)+\cos^2 2t.
Como \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1, fica
\|\mathbf{r}(t)\|^2=\operatorname{sen}^2 2t+\cos^2 2t.
E finalmente, usando \sin^2 x+\cos^2 x=1 com x=2t,
\|\mathbf{r}(t)\|^2=1.
Portanto
\|\mathbf{r}(t)\|=\sqrt{1}=1,
que é uma constante (independe de t). Conclusão: o comprimento de \mathbf{r}(t) é sempre 1.
Breve explicação didática: mostrar que a norma é constante significa mostrar que o comprimento do vetor não varia com t. Ao mostrar \|\mathbf{r}(t)\|^2=1, já temos isso.

Passo 4

Agora uso o argumento padrão (o que é provavelmente o conteúdo do Exemplo 6 mencionado): se \|\mathbf{r}(t)\| é constante então \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) são ortogonais. Vou demonstrar isso passo a passo.
Seja g(t)=\|\mathbf{r}(t)\|^2=\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t). Como vimos g(t)=1 para todo t, temos g'(t)=0. Por outro lado, aplicando a regra da derivada ao produto escalar (produto escalar satisfaz a regra do produto):
g'(t)=\frac{d}{dt}\big(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)\big)=\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=2\,\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t).
Como g'(t)=0, obtemos
2\,\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0.
Isto significa que \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) são ortogonais para todo t. Esse é o conteúdo do Exemplo 6: norma constante ⇒ vetor e sua derivada são perpendiculares.

Passo 5

Agora calculo explicitamente \mathbf{r}'(t) componente a componente. Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Lembro: \dfrac{d}{dt}\sin 2t=2\cos 2t e \dfrac{d}{dt}\cos 2t=-2\sin 2t.
Primeira componente r_1(t)=\operatorname{sen}2t\cos t. Pela regra do produto:
r_1'(t)=(\operatorname{sen}2t)'\cos t+\operatorname{sen}2t(\cos t)'=2\cos 2t\cos t-\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t.
Segunda componente r_2(t)=\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t. Pela regra do produto:
r_2'(t)=(\operatorname{sen}2t)'\operatorname{sen}t+\operatorname{sen}2t(\operatorname{sen}t)'=2\cos 2t\operatorname{sen}t+\operatorname{sen}2t\cos t.
Terceira componente r_3(t)=\cos 2t. Pela regra da cadeia:
r_3'(t)=-2\operatorname{sen}2t.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\big\langle 2\cos 2t\cos t-\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t,\;2\cos 2t\operatorname{sen}t+\operatorname{sen}2t\cos t,\;-2\operatorname{sen}2t\big\rangle.

Passo 6

Verifico explicitamente que \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0 usando as expressões. Faço o produto escalar e simplifico atentando para cancelamentos:
Calculo
\begin{aligned} \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) &=(\operatorname{sen}2t\cos t)\big(2\cos 2t\cos t-\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t\big)\\\ &\quad+(\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t)\big(2\cos 2t\operatorname{sen}t+\operatorname{sen}2t\cos t\big)\\\ &\quad+(\cos 2t)(-2\operatorname{sen}2t). \end{aligned}
Distribuindo e reagruppando termos pareados:
\begin{aligned} \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t) &=2\operatorname{sen}2t\cos 2t\cos^2 t-\operatorname{sen}^2 2t\cos t\operatorname{sen}t\\\ &\quad+2\operatorname{sen}2t\cos 2t\operatorname{sen}^2 t+\operatorname{sen}^2 2t\operatorname{sen}t\cos t\\\ &\quad-2\operatorname{sen}2t\cos 2t. \end{aligned}
Observe que os termos com \operatorname{sen}^2 2t\cos t\operatorname{sen}t se cancelam (um é negativo e o outro positivo). Também os dois termos que envolvem 2\operatorname{sen}2t\cos 2t podem ser combinados:
2\operatorname{sen}2t\cos 2t(\cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t)-2\operatorname{sen}2t\cos 2t.
Mas \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1, então isso é
2\operatorname{sen}2t\cos 2t-2\operatorname{sen}2t\cos 2t=0.
Portanto \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0, verificando explicitamente a ortogonalidade.

Passo 7

Resumo do raciocínio: primeiro mostrei que \|\mathbf{r}(t)\|=1 constante usando identidades trigonométricas; pelo argumento geral sobre derivada do produto escalar (Exemplo 6) isso implica \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'=0; depois calculei \mathbf{r}'(t) com regra do produto e verifiquei algebricamente que o produto escalar é zero.

Resposta

\|\mathbf{r}(t)\|=1
\mathbf{r}'(t)=\big\langle 2\cos 2t\cos t-\operatorname{sen}2t\operatorname{sen}t,\;2\cos 2t\operatorname{sen}t+\operatorname{sen}2t\cos t,\;-2\operatorname{sen}2t\big\rangle
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)=0

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