Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral1^e integral0^ln x x y d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integral1^eintegral0^ln xx,y;dy;dx
e pede para esboçar a região de integração
(x,y)mid1<= x<= e,;0<= y<=ln x
e depois trocar a ordem de integração.

Passo 2

Vamos entender a região
R=(x,y)mid 1<= x<= e,;0<= y<=ln x
Ela é limitada por:
– a reta y=0 (eixo x),
– a curva y=ln x,
– a linha vertical x=1,
– a linha vertical x=e.
É a “fatia” sob a curva y=ln x, entre x=1 e x=e.

Passo 3

Para inverter a ordem, note que sobre R:
y varia de 0 (na reta y=0) até ln x, mas o maior valor de ln x acontece em x=e, então y vai de
0<= y<= ln e = 1
– Para um y fixo em [0,1], a condição y<=ln x equivale a x>= e^y. E ainda estamos entre x=1 e x=e, mas como e^y>= e^0=1, a fronteira esquerda é x=e^y e a direita permanece x=e. Logo,
e^y<= x<= e

Passo 4

Portanto, a integral com ordem invertida é
integraly=0^1integralx=e^y^ex,y;dx;dy

Resposta

integral1^eintegral0^ln xx,y;dy;dx ;=; integral0^1integrale^y^ex,y;dx;dy

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