Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^pi / 6 integralsen x^1 / 2 x y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^pi/6integralsin x^1/2x,y^2,dy,dx
e pede para esboçar a região de integração R no plano xy e depois escrever a mesma integral trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar descrever R como conjunto de pontos (x,y) e depois inverter os limites.

Passo 2

Primeiro, entendemos R assim:
para cada x variando de 0 a pi/6, o y varia de y=sin x (curva crescente que em x=0 vale 0 e em x=pi/6 vale 1/2) até a reta horizontal y=1/2.
Logo, R=(x,y)mid 0<= x<= pi/6,;sin x<= y<= 1/2.
Se você esboçar, terá a curva y=sin x indo de (0,0) a (pi/6,1/2) e a reta y=1/2, com a região entre elas.

Passo 3

Para inverter a ordem, note que os pontos de R têm y variando entre o mínimo sin(0)=0 e o máximo 1/2. Assim
0<= y<= tfrac12
Para um y fixo nessa faixa, a condição sin x<= y equivale a
x<= arcsin(y),
e como originalmente x>=0, obtemos
0<= x<= arcsin(y)

Passo 4

Portanto, a integral com ordem invertida fica
integral0^1/2integral0^arcsin(y)x,y^2,dx,dy

Resposta

integral0^1/2integral0^arcsin(y)x,y^2,dx,dy

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