Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para esboçar a região de integração
no plano
e depois escrever a mesma integral trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas, e vamos precisar descrever
como conjunto de pontos
e depois inverter os limites.
Passo 2
Primeiro, entendemos
assim:
para cada variando de
a
, o
varia de
(curva crescente que em
vale 0 e em
vale
) até a reta horizontal
.
Logo, .
Se você esboçar, terá a curva indo de
a
e a reta
, com a região entre elas.
para cada
Logo,
Se você esboçar, terá a curva
Passo 3
Para inverter a ordem, note que os pontos de
têm
variando entre o mínimo
e o máximo
. Assim
Para um
fixo nessa faixa, a condição
equivale a
e como originalmente
, obtemos
Passo 4
Portanto, a integral com ordem invertida fica