Nos Exercícios de 34 a 39, encontre a dimensão do espaço yetorial V e dê uma base para V.
V=\left\{A\right. em M_{22} : A é triangular superior \}

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço vetorial V\subset M_{2\times2} formado pelas matrizes triangulares superiores. O conteúdo é subespaços de matrizes e a ideia é identificar o número de parâmetros livres e escolher matrizes canônicas como base.

Passo 2

Qualquer matriz A\in V tem a forma\r
A = \begin{pmatrix} a & b\\[6pt] 0 & c \end{pmatrix}\r
com a,b,c em \mathbb{R} (ou outro corpo qualquer). Note que a única restrição é a_{21}=0, e os três números a,b,c são parâmetros livres.]

Passo 3

Como há exatamente três graus de liberdade a,b,c, conclui-se que\r
\dim(V)=3.

Passo 4

Para formar uma base, basta escolher as matrizes que isolam cada parâmetro. Por exemplo,\r
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.\r
Elas são linearmente independentes e geram todo V.

Resposta

\dim(V)=3 \r
Uma base é \r
\Bigl\{\,E_{11},\,E_{12},\,E_{22}\Bigr\}
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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