Nos Exercícios de 34 a 39, encontre a dimensão do espaço yetorial V e dê uma base para V.
V=\left\{p(x)\right. em \left.\mathscr{P}_{2}: \mathrm{xp}^{\prime}(x)=p(x)\right\}

Passo 1

Temos o subespaço
V = \{\,p(x)\in\mathscr{P}_{2}\mid x\,p'(x)=p(x)\}
do espaço de polinômios de grau <=2. Vamos achar todos os polinômios p(x)=a+bx+cx^2 que satisfazem essa condição, determinar sua dimensão e dar uma base.

Passo 2

Seja
p(x)=a+bx+cx^2.
Então
p'(x)=b+2c\,x
e
x\,p'(x)=b\,x+2c\,x^2.

Passo 3

A condição x\,p'(x)=p(x)\) implica \[a+bx+cx^2 \;=\; b\,x+2c\,x^2.
Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} \text{constante: }a=0,\\\ \text{coef. de }x: b=b\quad(\text{sempre}),\\\ \text{coef. de }x^2: c=2c\implies c=0. \end{cases}
Logo a=0\], \(c=0 e b é livre, de modo que
p(x)=b\,x.

Resposta

\dim V=1 e uma base para V é \{\,x\}.

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