Nos Exercícios de 34 a 39, encontre a dimensão do espaço yetorial V e dê uma base para V.
V=\left\{A\right. em \left.M_{22}: A B=B A\right\}, onde B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar o espaço
V = \{A\in M_{2}(\Bbb R)\mid AB=BA\},
onde
B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso é achar o centralizador de B em M_2. Vamos parametrizar uma matriz genérica A, impor AB=BA e resolver as equações para encontrar a dimensão de V e uma base.]

Passo 2

Considere
A=\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & w\end{pmatrix}.
Calculamos
AB=\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & x+y \\[4pt] z & z+w\end{pmatrix},
BA=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+z & y+w \\[4pt] z & w\end{pmatrix}.]

Passo 3

Impor AB=BA gera o sistema de igualdades de entradas:
  1. x = x+z
  2. x+y = y+w
  3. z = z
  4. z+w = w
Da primeira vem z=0. Da segunda, x+w= x+y -y +w reduz a x = w. As outras são triviais quando z=0 e w=x.

Passo 4

Logo toda A\in V é da forma
A=\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] 0 & x\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto \dim V=2 e uma base natural é
\Bigl\{\,I,\;E_{12}\Bigr\},
onde I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} e E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}.]

Resposta

\dim V=2.
Uma base para V é
\{\,I,\;E_{12}\}.

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