Estenda \left\{1+x, 1+x+x^{2}\right\} a uma base de \mathscr{P}_{2}.

Passo 1

O espaço \mathscr{P}_{2} das polinômios de grau <=2 tem dimensão 3. O enunciado dá o subconjunto
S = \{\,1+x,\;1+x+x^2\}
de cardinal 2 e pede para estendê-lo a uma base de \mathscr{P}_{2}. Para isso, precisamos:
  1. Verificar que S é linearmente independente.
  2. Acrescentar um polinômio p(x) que não pertença ao span de S, garantindo que \#(S\cup\{p\})=3 e que o conjunto resultante seja independente.

Passo 2

Mostramos que S é independente. Suponha
\alpha\,(1+x) + \beta\,(1+x+x^2) = 0 \quad\text{(polinômio nulo).}ô
Comparando coeficientes:
– termo constante: \alpha + \beta = 0,
– termo em x: \alpha + \beta = 0,
– termo em x^2: \beta = 0.
Daí \beta=0 e então \alpha=0. Logo só há combinação trivial, e S é LI.

Passo 3

Para completar a base, escolhemos um polinômio p(x) que não esteja em \mathrm{span}\,\{1+x,\;1+x+x^2\}. Uma escolha simples é
p(x) = x.
Verificamos que x não está na combinação de 1+x e 1+x+x^2, pois se
\alpha\,(1+x) + \beta\,(1+x+x^2) = x
então, pelo coeficiente de x^2, \beta=0, e ficaria \alpha\,(1+x)=x, impossível de satisfazer no termo constante. Assim, x\notin \mathrm{span}\,S.

Passo 4

Concluímos que
\{\,1+x,\;1+x+x^2,\;x\}
é um conjunto de 3 vetores em \mathscr{P}_{2}, LI e, por ter dimensão 3, forma base.

Resposta

A base de \mathscr{P}_{2} estendendo \{1+x,\;1+x+x^2\} é, por exemplo,
\{\,1+x,\;1+x+x^2,\;x\}.

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