Estenda
a uma base de
.
Passo 1
O espaço
das polinômios de grau
tem dimensão 3. O enunciado dá o subconjunto
de cardinal 2 e pede para estendê-lo a uma base de
. Para isso, precisamos:
- Verificar que
é linearmente independente. - Acrescentar um polinômio
que não pertença ao span de , garantindo que e que o conjunto resultante seja independente.
Passo 2
Mostramos que
é independente. Suponha
Comparando coeficientes:
– termo constante: ,
– termo em :
,
– termo em :
.
Daí e então
. Logo só há combinação trivial, e
é LI.
– termo constante:
– termo em
– termo em
Daí
Passo 3
Para completar a base, escolhemos um polinômio
que não esteja em
. Uma escolha simples é
Verificamos que
não está na combinação de
e
, pois se
então, pelo coeficiente de
,
, e ficaria
, impossível de satisfazer no termo constante. Assim,
.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de 3 vetores em
, LI e, por ter dimensão 3, forma base.
Resposta
A base de
estendendo
é, por exemplo,