Prove que o espaço vetorial \mathscr{P} tem dimensão infinita. (Sugestão: suponha que ele tem uma base finita. Mostre que existe algum polinômío que não é uma combinação linear dessa base.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial \mathscr{P} de todos os polinômios (sobre um corpo, por exemplo \mathbb{R}) não admite uma base com número finito de elementos, ou seja, \dim\mathscr{P}=\infty. Para isso vamos usar a definição de base e a ideia de grau de um polinômio.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que \mathscr{P} tenha uma base finita
B=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\}.
Isso significa que todo polinômio q\in\mathscr{P} pode ser escrito como combinação linear
q=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\,p_{i},
para certos escalares a_{1},\dots,a_{n}.

Passo 3

Cada p_{i} tem um grau bem definido \deg(p_{i}). Defina
D = \max\bigl\{\deg(p_{1}),\,\deg(p_{2}),\,\dots,\deg(p_{n})\bigr\}.
Então, sempre que formarmos uma combinação linear \sum_{i=1}^{n}a_{i}p_{i} em que nem todos os a_{i} sejam zero, o grau do resultado satisfaz
\deg\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}p_{i}\Bigr)\;\le\;D.

Passo 4

Agora considere o polinômio
q(x)=x^{D+1}.
Temos \deg(q)=D+1. Se B fosse de fato uma base, existiriam coeficientes a_{1},\dots,a_{n} tais que
x^{D+1}=q(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}p_{i}(x).
Mas isso implicaria
\deg\bigl(q\bigr)\;=\;D+1\;\le\;D,
o que é uma contradição.

Resposta

Portanto não existe base finita em \mathscr{P}$, isto é, \dim\mathscr{P}=\infty.

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