Prove que o espaço vetorial
tem dimensão infinita. (Sugestão: suponha que ele tem uma base finita. Mostre que existe algum polinômío que não é uma combinação linear dessa base.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
de todos os polinômios (sobre um corpo, por exemplo
) não admite uma base com número finito de elementos, ou seja,
. Para isso vamos usar a definição de base e a ideia de grau de um polinômio.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
tenha uma base finita
Isso significa que todo polinômio
pode ser escrito como combinação linear
para certos escalares
.
Passo 3
Cada
tem um grau bem definido
. Defina
Então, sempre que formarmos uma combinação linear
em que nem todos os
sejam zero, o grau do resultado satisfaz
Passo 4
Agora considere o polinômio
Temos
. Se
fosse de fato uma base, existiriam coeficientes
tais que
Mas isso implicaria
o que é uma contradição.
Resposta
Portanto não existe base finita em
, isto é,
.