Nos Exercícios de 34 a 39, encontre a dimensão do espaço yetorial V e dê uma base para V.
V=\left\{p(x)\right. em \left.\mathscr{P}_{2}: p(1)=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço vetorial \displaystyle V=\{\,p(x)\in\mathscr{P}_{2}\mid p(1)=0\}
e uma base para V. Vamos usar a representação genérica de um polinômio de grau <=2 e a condição p(1)=0.

Passo 2

Seja
p(x)=ax^{2}+bx+c.
A condição p(1)=0 implica
a+b+c=0.

Passo 3

O espaço \mathscr{P}_{2} tem dimensão 3 e há uma única restrição linear independente a+b+c=0. Logo
\dim V = 3 - 1 = 2.

Passo 4

Para encontrar uma base, expressamos c em função de a e b:
c=-a-b.
Substituindo em p(x), obtemos
p(x)=a(x^{2}-1)+b(x-1).
Isso mostra que todo p\in V é combinação linear de x^{2}-1 e x-1.

Resposta

\dim V = 2.
Uma base para V é
\{\,x^{2}-1,\;x-1\}.

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