Nos Exercícios de 34 a 39, encontre a dimensão do espaço yetorial V e dê uma base para V. V=\left\{p(x)\right. em \left.\mathscr{P}_{2}: \mathrm{xp}^{\prime}(x)=p(x)\right\}
Passo 1
Temos o subespaço
V = \{\,p(x)\in\mathscr{P}_{2}\mid x\,p'(x)=p(x)\}
do espaço de polinômios de grau <=2. Vamos achar todos os polinômios p(x)=a+bx+cx^2 que satisfazem essa condição, determinar sua dimensão e dar uma base.
Passo 2
Seja
p(x)=a+bx+cx^2.
Então
p'(x)=b+2c\,x
e
x\,p'(x)=b\,x+2c\,x^2.
Passo 3
A condição x\,p'(x)=p(x)\) implica
\[a+bx+cx^2 \;=\; b\,x+2c\,x^2.
Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} \text{constante: }a=0,\\\ \text{coef. de }x: b=b\quad(\text{sempre}),\\\ \text{coef. de }x^2: c=2c\implies c=0. \end{cases}