Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
integral sen^3 2 theta cos ^4 2 theta d theta

Passo 1

Estamos com a integral integral sin^3(2theta),cos^4(2theta),dtheta. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para reduzir a potência e em seguida uma substituição do tipo u=cos(2theta).

Passo 2

Primeiro, observamos que sin^3(2theta)=sin^2(2theta),sin(2theta). E pela identidade trigonométrica temos sin^2(2theta)=1-cos^2(2theta).
Substituindo na integral, o integrando fica
(1-cos^2(2theta)),cos^4(2theta),sin(2theta),dtheta

Passo 3

Aí vem a mágica da substituição: definimos u=cos(2theta). Então
du = -2,sin(2theta),dtheta
logo
sin(2theta),dtheta = -tfrac12,du

Passo 4

Substituindo tudo em termos de u, a integral vira
integral (1-u^2),u^4,sin(2theta),dtheta = -tfrac12integral (1-u^2),u^4,du = -tfrac12integral l(u^4-u^6r),du

Passo 5

Agora integramos polinômios em u:
-tfrac12integral (u^4-u^6),du = -tfrac12l(tfracu^55-tfracu^77r) + C

Passo 6

Por fim, voltamos a cos(2theta) no lugar de u e simplificamos os coeficientes:
-tfrac12l(tfracu^55-tfracu^77r) = -tfracu^510+tfracu^714
Substituindo u=cos(2theta) chega-se à forma final.

Resposta

  • \tfrac{\cos^{5}(2\theta)}{10} + \tfrac{\cos^{7}(2\theta)}{14} + C

Exercícios relacionados