Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.
integral sen^3(1-2 theta) cos ^3(1-2 theta) d theta

Passo 1

No exercício, queremos calcular a integral indefinida integral sin^3(1-2theta),cos^3(1-2theta),dtheta. O conteúdo envolvido é integração de potências ímpares de seno e cosseno, e vamos precisar usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável t = 1 - 2theta. Assim, dt = -2,dtheta, ou seja, dtheta = -tfrac12,dt. Essa substituição remove o termo linear em theta dentro das funções trigonométricas.
Reescrevendo a integral em função de t, temos:
integral sin^3(1-2theta),cos^3(1-2theta),dtheta = -tfrac12 integral sin^3 t,cos^3 t,dt

Passo 3

Para integrar integral sin^3 t,cos^3 t,dt, usamos a identidade cos^2 t = 1 - sin^2 t. Então:
sin^3 t,cos^3 t = sin^3 t,(cos^2 t),cos t = sin^3 t,(1 - sin^2 t),cos t

Passo 4

Agora definimos u = sin t, de modo que du = cos t,dt. A integral torna-se:
-tfrac12 integral sin^3 t,(1 - sin^2 t),cos t,dt = -tfrac12 integral u^3(1 - u^2),du

Passo 5

Expandindo o integrando em u:
u^3(1 - u^2) = u^3 - u^5,
portanto
-tfrac12 integral (u^3 - u^5),du = -tfrac12 gl( tfracu^44 - tfracu^66 gr) + C

Passo 6

Voltando às variáveis originais ( u = sin t e t = 1 - 2theta), obtemos:
-tfrac12 l( tfracsin^4 t4 - tfracsin^6 t6 r) + C = -sin^4(1-2theta)8 + sin^6(1-2theta)12 + C

Passo 7

Essa é a forma final da antiderivada em termos de theta.

Resposta

sin^6(1-2theta)12 - sin^4(1-2theta)8 + C

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