Seja f(x, y)=l e^-1x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) a fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00a3o definida por
Determine caso existam as derivadas parciais e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
f: R^2 R
O objetivo aqui é verificar se as derivadas parciais $ f_{x}(0,0) $, $ f_{y}(0,0) $, $ f_{xy}(0,0) $ e $ f_{yx}(0,0) $ existem. Vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e como elas são calculadas usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $, denotada por $ f_{x}(0,0) $, é o limite:
f
Vamos calcular esse limite.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
fx(0,0) = limh to 0 e^-1h^2+0^2 - 0h = limh to 0 e^-1h^2h
Agora, vamos analisar esse limite.

Passo 4

Observamos que quando $ h $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{h^{2}} $ vai para $ +\infty $, então $ e{-\frac{1}{h{2}}} $ vai para 0 bem rápido. Portanto, o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador tende a 0.
Logo,
h

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $, ou seja, $ f_{y}(0,0) $. Usamos a definição:
y

Passo 6

Substituindo na fórmula:
fy(0,0) = limk to 0 e^-10^2+k^2 - 0k = limk to 0 e^-1k^2k
Analisando esse limite de maneira similar ao anterior.

Passo 7

Como $ k \to 0 $, $ \frac{1}{k^{2}} \to +\infty $, então $ e{-\frac{1}{k{2}}} \to 0 $ muito rapidamente. Assim, o numerador vai para 0 mais rápido que o denominador.
Portanto,
k to 0

Passo 8

Agora, vamos verificar as derivadas mistas $ f_{xy}(0,0) $ e $ f_{yx}(0,0) $. Primeiro, vamos calcular $ f_{xy}(0,0) $.
A derivada mista $ f_{xy}(0,0) $ é a derivada parcial de $ f_{x} $ em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $:
fxy(0,0)
Sabemos que $ f_{x}(0,0) = 0 $, então:
fyx(0,0)

Passo 9

Precisamos encontrar $ f_{x}(0,k) $, que é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,k) $:
fx(0,k)

Passo 10

Esse limite é mais complicado, mas podemos observar que, à medida que $ h \to 0 $, o numerador tende a $ e{-\frac{1}{k{2}}} - e{-\frac{1}{k{2}}} = 0 $, então temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $.
Aplicando a regra de L’Hôpital:
h to 0

Passo 11

Agora, avaliando o limite:
fx(0,k) = limh to 0 2h(h^2+k^2)^2 e^-1h^2+k^2
Como $ h \to 0 $, $ h^{2} $ é insignificante comparado a $ k^{2} $, então aproximamos:
h to 0
Portanto,
h^2

Passo 12

De maneira semelhante, para $ f_{yx}(0,0) $, que é a derivada parcial de $ f_{y} $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $:
fyx(0,0)
Sabemos que $ f_{y}(0,0) = 0 $, então:
fy

Passo 13

Calculando $ f_{y}(h,0) $:
fy(h,0)
Novamente, ao aplicar a regra de L’Hôpital, seguimos um processo similar ao anterior e obtemos:
fy(h,0) = limk to 0 f(h,k) - f(h,0)k = limk to 0 e^-1h^2+k^2 - e^-1h^2k
Portanto,
fy(h,0) = 0

Resposta

Todas as derivadas parciais $ f_{x}(0,0) $, $ f_{y}(0,0) $, $ f_{xy}(0,0) $ e $ f_{yx}(0,0) $ existem e são iguais a zero.

Exercícios relacionados