Seja
a fun\u00c3\u00a7\u00c3\u00a3o definida por
Determine caso existam as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por:
O objetivo aqui é verificar se as derivadas parciais $ f_{x}(0,0) $, $ f_{y}(0,0) $, $ f_{xy}(0,0) $ e $ f_{yx}(0,0) $ existem. Vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais e como elas são calculadas usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $, denotada por $ f_{x}(0,0) $, é o limite:
Vamos calcular esse limite.
Passo 3
Substituindo na fórmula:
Agora, vamos analisar esse limite.
Passo 4
Observamos que quando $ h $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{h^{2}} $ vai para $ +\infty $, então $ e{-\frac{1}{h{2}}} $ vai para 0 bem rápido. Portanto, o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador tende a 0.
Logo,
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $, ou seja, $ f_{y}(0,0) $. Usamos a definição:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Analisando esse limite de maneira similar ao anterior.
Passo 7
Como $ k \to 0 $, $ \frac{1}{k^{2}} \to +\infty $, então $ e{-\frac{1}{k{2}}} \to 0 $ muito rapidamente. Assim, o numerador vai para 0 mais rápido que o denominador.
Portanto,
Passo 8
Agora, vamos verificar as derivadas mistas $ f_{xy}(0,0) $ e $ f_{yx}(0,0) $. Primeiro, vamos calcular $ f_{xy}(0,0) $.
A derivada mista $ f_{xy}(0,0) $ é a derivada parcial de $ f_{x} $ em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $:
Sabemos que $ f_{x}(0,0) = 0 $, então:
Passo 9
Precisamos encontrar $ f_{x}(0,k) $, que é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,k) $:
Passo 10
Esse limite é mais complicado, mas podemos observar que, à medida que $ h \to 0 $, o numerador tende a $ e{-\frac{1}{k{2}}} - e{-\frac{1}{k{2}}} = 0 $, então temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $.
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 11
Agora, avaliando o limite:
Como $ h \to 0 $, $ h^{2} $ é insignificante comparado a $ k^{2} $, então aproximamos:
Portanto,
Passo 12
De maneira semelhante, para $ f_{yx}(0,0) $, que é a derivada parcial de $ f_{y} $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $:
Sabemos que $ f_{y}(0,0) = 0 $, então:
Passo 13
Calculando $ f_{y}(h,0) $:
Novamente, ao aplicar a regra de L’Hôpital, seguimos um processo similar ao anterior e obtemos:
Portanto,
Resposta
Todas as derivadas parciais $ f_{x}(0,0) $, $ f_{y}(0,0) $, $ f_{xy}(0,0) $ e $ f_{yx}(0,0) $ existem e são iguais a zero.